Что является корнем нелинейного уравнения f x 0
Перейти к содержимому

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

  • автор:

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

The following steps would be useful to find the maximum and minimum value of a function using first and second derivatives.

Let f(x) be a function. Find the first derivative of f(x), which is f'(x).

Equate the first derivative f'(x) to zero and solve for x, which are called critical numbers.

Find the second derivative of f(x), which is f»(x).

Substitute the critical numbers found in step 2 in the second derivative f»(x).

If f»(x) > 0 for some value of x, say x = b, then the function f(x) is minimum at x = b.

To get maximum and minimum values of the function substitute x = a and x = b in f(x).

Maximum value = f(a)

Minimum value = f(b)

Determine the maximum value of the function :

Find the first derivative of f(x).

Equate the first derivative to zero, that is f'(x) = 0.

Find the second derivative of f(x).

Substitute the critical number x = 2 in f»(x).

So, f(x) is maximum at x = 2.

To find the maximum value, substitute x = 2 in f(x).

Therefore the maximum value of the function f(x) is 7.

We can justify our answer by graphing the function f(x).

The given function is the equation of parabola. Replace f(x) by y.

Write the above equation of parabola in vertex form.

y = -[x 2 — 2(x)(2) + 2 2 — 2 2 — 3]

y = -[(x — 2) 2 — 4 — 3]

The above equation is in the form y = a(x — h) 2 + k.

Vertex (h, k) = (2, 7)

Because ‘a’ is negative the parabola opens down. So, we have only the maximum value for y, that is the y-coordinate at the vertex, which is 7.

The answer is justified.

Determine the maximum and minimum values of the function :

f(x) = 2x 3 + 3x 2 — 36x + 1

Find the first derivative of f(x).

f'(x) = 2(3x 2 ) + 3(2x) — 36(1) + 0

Equate the first derivative to zero, that is f'(x) = 0.

6x 2 + 6x — 36 = 0

Divide both sides by 6.

Factor and solve.

Find the second derivative of f(x).

f'(x) = 6x 2 + 6x — 36

Substitute the critical numbers x = 2 and x = -3 in f»(x).

When x = 2, f»(x) > 0, the function f(x) is minimum at

When x = -3, f»(x) > 0, the function f(x) is maximum at

To find the maximum and minimum values of the given function, substitute x = -3 and x = 2 in f(x).

f(-3) = 2(-3) 3 + 3(-3) 2 — 36(-3) + 1

= 2(-27) + 3(9) + 108 + 1

f(2) = 2(2) 3 + 3(2) 2 — 36(2) + 1

Mona has 400 yards of fencing to enclose a rectangular area. Find the dimensions of the rectangle that maximize the enclosed area. What is the maximum area?

Let �� and w be the length and width of the rectangle respectively.

maximumandminimum1.png

Total length of fence = 400 yards

Divide both sides by 2.

Subtract w from both sides.

Area of a rectangle = �� ⋅ w

Let A(w) be the area of the rectangle.

A(w) = = 200w — w 2 —-(2)

Find the first derivative of A(w) .

Equate the first derivative to zero and solve for w, which is called critical number.

Find the second derivative of A(w).

Substitute the critical number w = 100 in A»(w).

So, A(w) is maximum at w = 100.

Substitute w = 100 into (1).

The area is maximum when

length = 100 yards

width = 100 yards

To find the maximum area, substitute w = 100 into (2).

A(100) = 200(100) — 100 2

Therefore, the maximum area is 10000 square yards.

The sum of two numbers is 10. Find the smallest possible value for the sum of their squares.

Let x and y be the two numbers.

Sum of their squares :

= x 2 + 10 2 — 2(10)(x) + x 2

= x 2 + 100 — 20x + x 2

Let S(x) be the sum of the their squares.

S(x) = 2x 2 — 20x + 100

Find the first derivative of P(x).

Find the second derivative of P(x).

Equate the first derivative to zero and solve for x , which is called critical number.

Substitute x = 5 into S «(x) = 4.

So, S(x) is minimum at x = 4.

Subsitute x = 5 into (1).

When the two numbers are 5 and 5, the sum of their squares is minimum.

The smallest possible value for the sum of their squares :

The total cost of a firm is

where C(x) is the total cost and x is output. A tax at a rate of $2 per unit of output is imposed and the producer adds it to his cost. If the market demand function is given by p = 2530 — 5x where p is the price per unit of output in dollars, find the profit maximising output and price for maximum profit. Solution : Since a tax of $2 per unit of output is imposed, the total tax for x units of output is 2x. The producer adds this tax to his cost. Then, the total new cost is

Let R(x) be the revenue for the ouput of x units. Revenue : Price x Output R(x) = (2530 — 5x)x R(x) = 2530x — 5x 2 Let P(x) be the profit for the ouput of x units. Profit = Revenue — Total Cost P(x) = R(x) — C(x)

Find the first derivative of P(x).

P'(x) = -x 2 + 2500 Find the second derivative of P(x). P»(x) = -2x Equate the first derivative to zero and solve for x , which is called critical number. P'(x) = 0 -x 2 + 2500 = 0 -x 2 = -2500 x 2 = 2500 x = ± 50 x = -50 or 50 Output can never be a negative value. So, x = 50. Substitute x = 50 into P»(x) = -2x. P»(50) = -2(50) P»(50) = -100 < 0 So, P(x) is maximum at x = 50. Therefore, profit maximising output is 50 units. Subsitute x = 50 into demand function p = 2530 — 5x. p = 2530 — 5(50) p = 2530 — 250 p = 2280 Therefore, the price for maximum profit is $2280.

Как решать нелинейные уравнения без сложных формул: метод простых итераций

Метод простых итераций – эффективный численный метод для нахождения приближенного решения нелинейных уравнений, который основан на преобразовании уравнения в итерационный процесс и последующем нахождении его предельной точки.

Как решать нелинейные уравнения без сложных формул: метод простых итераций обновлено: 30 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Помощь в написании работы

Введение

В данной лекции мы будем изучать метод простых итераций для решения нелинейных уравнений. Нелинейные уравнения возникают во многих областях науки и техники, и их решение является важной задачей. Метод простых итераций является одним из способов приближенного решения таких уравнений. Он основан на итеративном процессе, в котором последовательно уточняется приближенное значение корня уравнения. В этой лекции мы рассмотрим алгоритм решения нелинейных уравнений методом простых итераций, а также изучим его свойства и сходимость.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Определение нелинейного уравнения

Нелинейное уравнение – это уравнение, в котором одна или несколько переменных входят в степенях, произведениях или других нелинейных функциях. В отличие от линейных уравнений, где все переменные имеют степень 1, нелинейные уравнения могут иметь переменные со степенями больше 1 или смешанные нелинейные функции.

Общий вид нелинейного уравнения может быть представлен следующим образом:

F(x) = 0

где F(x) – нелинейная функция, а x – переменная, которую мы ищем.

Примеры нелинейных уравнений:

x^2 – 3x + 2 = 0

sin(x) + cos(x) = 1

e^x – 2x = 0

Решение нелинейных уравнений может быть сложной задачей, так как в общем случае нет аналитической формулы для нахождения точного решения. Однако существуют различные численные методы, такие как метод простых итераций, которые позволяют приближенно найти решение нелинейного уравнения.

Метод простых итераций

Метод простых итераций – это численный метод решения нелинейных уравнений, основанный на преобразовании исходного уравнения в эквивалентное уравнение, которое имеет фиксированную точку. Затем производится последовательное приближение к этой фиксированной точке, пока не будет достигнута заданная точность.

Для применения метода простых итераций необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Преобразование уравнения

Исходное уравнение преобразуется к виду x = g(x), где g(x) – функция, которая приводит к фиксированной точке. Преобразование может быть достигнуто путем алгебраических манипуляций или графическим методом.

Шаг 2: Выбор начального приближения

Необходимо выбрать начальное приближение x_0, которое будет использоваться для итераций. Часто выбираются значения, близкие к корню уравнения или значения, которые удовлетворяют условию сходимости метода.

Шаг 3: Итерационный процесс

Итерационный процесс начинается с выбранного начального приближения x_0 и выполняется до достижения заданной точности. На каждом шаге вычисляется новое приближение x_i с помощью формулы x_i = g(x_). Процесс продолжается до тех пор, пока разница между последовательными приближениями не станет меньше заданной точности.

Шаг 4: Проверка сходимости

После завершения итерационного процесса необходимо проверить, достигнута ли заданная точность. Если разница между последним приближением и предыдущим приближением меньше заданной точности, то можно считать, что метод простых итераций сходится и найдено приближенное решение уравнения.

Метод простых итераций имеет свои преимущества и недостатки. Он прост в реализации и может быть применен к широкому классу нелинейных уравнений. Однако он может быть медленным и не всегда сходиться к решению, особенно если выбрано неправильное начальное приближение или функция g(x) не удовлетворяет условиям сходимости.

Алгоритм решения нелинейных уравнений методом простых итераций

Для решения нелинейных уравнений методом простых итераций следуйте следующему алгоритму:

  1. Запишите исходное уравнение в виде f(x) = 0, где f(x) – нелинейная функция.
  2. Преобразуйте уравнение, чтобы выразить x в виде x = g(x), где g(x) – новая функция.
  3. Выберите начальное приближение x0.
  4. Используя формулу xn+1 = g(xn), вычислите последовательные приближения x1, x2, x3, … до достижения заданной точности или определенного количества итераций.
  5. Проверьте условие сходимости метода простых итераций. Если последовательность xn сходится, то можно считать, что найдено приближенное решение уравнения.
  6. Выведите найденное приближенное решение уравнения.

Важно отметить, что выбор начального приближения x0 может существенно влиять на сходимость метода. Поэтому рекомендуется выбирать начальное приближение близким к истинному решению или использовать другие методы для приближенного нахождения начального приближения.

Примеры решения нелинейных уравнений методом простых итераций

Давайте рассмотрим несколько примеров решения нелинейных уравнений с использованием метода простых итераций.

Пример 1:

Решим уравнение x^2 – 3x + 2 = 0 методом простых итераций.

Преобразуем уравнение к виду x = g(x), где g(x) – функция, которая будет использоваться для итераций.

В данном случае, можно выбрать g(x) = (x^2 + 2) / 3.

Начальное приближение выберем, например, x0 = 1.

Теперь применим метод простых итераций:

  1. Вычисляем x1 = g(x0) = (1^2 + 2) / 3 = 1.333
  2. Вычисляем x2 = g(x1) = (1.333^2 + 2) / 3 = 1.407
  3. Продолжаем итерации, пока не достигнем требуемой точности или определенного количества итераций.

В результате итераций получим приближенное решение уравнения x ≈ 1.414.

Пример 2:

Решим уравнение sin(x) = x методом простых итераций.

Преобразуем уравнение к виду x = g(x), где g(x) – функция, которая будет использоваться для итераций.

В данном случае, можно выбрать g(x) = sin(x).

Начальное приближение выберем, например, x0 = 1.

Теперь применим метод простых итераций:

  1. Вычисляем x1 = g(x0) = sin(1) ≈ 0.841
  2. Вычисляем x2 = g(x1) = sin(0.841) ≈ 0.745
  3. Продолжаем итерации, пока не достигнем требуемой точности или определенного количества итераций.

В результате итераций получим приближенное решение уравнения x ≈ 0.739.

Это были примеры решения нелинейных уравнений методом простых итераций. Надеюсь, они помогли вам лучше понять этот метод и его применение.

Сходимость метода простых итераций

Сходимость метода простых итераций является одним из ключевых свойств этого метода решения нелинейных уравнений. Она определяет, насколько быстро и точно метод сходится к истинному решению уравнения.

Сходимость метода простых итераций зависит от выбора функции g(x), которая используется для построения итерационной последовательности. Если функция g(x) удовлетворяет определенным условиям, то метод сходится к решению уравнения.

Условия сходимости метода простых итераций:

  1. Функция g(x) должна быть непрерывной на заданном интервале.
  2. Функция g(x) должна быть дифференцируемой на заданном интервале.
  3. На заданном интервале должно выполняться условие |g'(x)| < 1, где g'(x) – производная функции g(x).

Если все эти условия выполняются, то метод простых итераций сходится к решению уравнения. Сходимость может быть линейной или квадратичной, в зависимости от значения производной функции g(x).

Линейная сходимость означает, что каждая итерация уменьшает ошибку в два раза. Квадратичная сходимость означает, что каждая итерация уменьшает ошибку в четыре раза.

Однако, не всегда метод простых итераций сходится к решению уравнения. Если условия сходимости не выполняются, то метод может расходиться или сходиться к неправильному решению. Поэтому важно тщательно выбирать функцию g(x) и проверять условия сходимости перед применением метода.

Теперь вы знаете, что такое сходимость метода простых итераций и как она зависит от выбора функции g(x) и выполнения условий сходимости. Это позволит вам более эффективно применять этот метод при решении нелинейных уравнений.

Преимущества метода простых итераций:

1. Простота реализации: метод простых итераций является одним из самых простых численных методов для решения нелинейных уравнений. Он не требует сложных математических выкладок и может быть легко реализован на компьютере.

2. Универсальность: метод простых итераций может быть применен для решения широкого класса нелинейных уравнений. Он не зависит от конкретного вида уравнения и может быть использован для различных задач.

3. Гарантированная сходимость: при выполнении условий сходимости метод простых итераций гарантированно сходится к решению уравнения. Это означает, что при достаточном количестве итераций можно получить точное или приближенное решение с заданной точностью.

Недостатки метода простых итераций:

1. Зависимость от выбора функции: для успешного применения метода простых итераций необходимо выбрать подходящую функцию g(x). Неправильный выбор функции может привести к расходимости метода или сходимости к неправильному решению.

2. Медленная сходимость: метод простых итераций может иметь медленную скорость сходимости, особенно если функция g(x) имеет маленькую производную в окрестности решения. В таких случаях может потребоваться большое количество итераций для достижения заданной точности.

3. Ограничения на условия сходимости: метод простых итераций имеет определенные условия сходимости, которые должны быть выполнены для успешного применения метода. Нарушение этих условий может привести к расходимости или неправильному решению.

Теперь вы знаете преимущества и недостатки метода простых итераций. Это поможет вам принять во внимание эти факторы при выборе метода для решения нелинейных уравнений и оценке его эффективности.

Сравнительная таблица методов решения нелинейных уравнений

  • Прост в реализации
  • Может быть применен к широкому классу уравнений
  • Может сходиться медленно или расходиться
  • Требует выбора подходящей итерационной функции
  • Сходится быстро
  • Эффективен для уравнений с одним корнем
  • Требует вычисления производной функции
  • Может расходиться при неправильном выборе начального приближения
  • Гарантированно находит корень в заданном интервале
  • Прост в реализации
  • Сходится медленно
  • Неэффективен для уравнений с множеством корней

Заключение

Метод простых итераций является одним из способов решения нелинейных уравнений. Он основан на итерационном процессе, в котором последовательно уточняется приближенное значение корня уравнения. Метод простых итераций имеет свои преимущества, такие как простота реализации и возможность применения к широкому классу уравнений. Однако, он также имеет недостатки, такие как возможность расходимости и необходимость выбора подходящей итерационной функции. Важно учитывать эти особенности при применении метода простых итераций для решения нелинейных уравнений.

Как решать нелинейные уравнения без сложных формул: метод простых итераций обновлено: 30 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Absolute maximum – Definition, Conditions, and Examples

Absolute maximum

Learning about a function’s absolute maximum will help us in sketching the function’s graphs accurately. The absolute maximum is an important component of a function. In fact, this comes in handy when we solve optimization problems: optimizing the profit, finding the highest point, and the largest area covered.

The function’s absolute maximum represents the function’s maximum value within a given interval or throughout its domain. A function can only have one absolute maximum.

Since absolute maximum is an application of first and second derivative tests, make sure that you have your notes handy. You can also check out this article in case you need a refresher.

In this article, we’ll show you what makes an absolute maximum different from a local maximum. We’ll also try out problems that involve the function’s absolute maximum.

What is an absolute maximum?

The absolute maximum (or also known as global maximum) of a function, $f(x)$, represents that highest possible values for $f(x)$.Let’s say we have the function’s critical number, $x =c$, within its domain. The function $f(x)$ is said to have an absolute maximum at $x= c$ if it satisfies the inequality shown below.

When this is true, $\boldsymbol<(c, f(x))>$ is the absolute maximum and the highest possible values for $f(x)$ is $\boldsymbol$.

the different extrema of a function

Here’s a graph showing you the curve’s different extrema. As you can see from the graph, a function can have one or more local minima or extrema. The function, however, will only have one absolute maximum (and minimum).

Identifying the global

This function, for example, has a global maximum (or the absolute maximum) at $(-1.5, 1.375)$. This means that the highest value of the function is $1.375$. Let’s say this graph represents the motion of an object. This means that the function reaches the highest point of $1.375$ units.

How to find the absolute maximum?

By inspection, we can find the absolute maximum by looking for the highest point of the function’s curve. We’ll show you three common conditions that you might encounter in your Calculus classes:

  1. Finding the absolute maximum (also known as the global maximum) through the domain of the function, $(-\infty, \infty)$.
  2. Finding one global maximum within a closed interval.
  • Finding multiple absolute maximum points – this normally occurs in periodic functions such as $y =\cos x$.

finding the absolute maximum given the function s graph

For each case, make sure to find the highest point/s of the function. The value of the function there represents its absolute or global maximum.

  1. The function’s highest point is $(0, 4)$ throughout its domain, $(-\infty, \infty)$. This means that the function’s absolute maximum is $4$.
  2. Within the interval of $[2, 6]$, the function has a maximum value at $(6, 9)$, so the function has a global maximum of $6$.
  • We can see the highest points ay $(-2\pi, 1)$, $(0, 1)$, and $(2\pi, 1)$. This shows that a function may have multiple maximum points, but it will still have one global maximum: $1$.

What if we’re not given the function’s graph? We can still find the function’s global maximum using the Extreme Value Theorem. When $f(x)$ is continuous on the interval, $[a, b]$,$f(x)$ should have absolute maximum within the given interval.

Here are the steps to keep in mind when finding the function’s absolute maximum:

  • Make sure that the function is continuous within the interval.
  • Find the critical numbers of the function within the interval. Recall that we can find the critical numbers of $f(x)$ by equating $\boldsymbol(x)>$ tozero.
  • Evaluate $f(x)$ at the critical numbers and the endpoints. Whichever is the highest value of $\boldsymbol$ represents the function’s global or absolute maximum.

Let’s say we want to find the absolute maximum of $f(x) = x^2$ within the interval, $[-3, 3]$. Since $f(x)$ is continuous within $[-3, 3]$, we can proceed and find its critical numbers. Find $f’(x)$ using the power rule and equating the resulting expression to $0$.

Evaluate $f(x)$ at the critical point and the interval’s endpoints.

The largest value for $f(x)$ occurs when $x = -3$ and $x = 3$, so the absolute maximum of $f(x)$ is $9$.

finding the absolute maximum of a quadratic function

The graph shows the curve of $f(x)$ within the interval, $[-3, 3]$. We can see from this that the highest point of $f(x)$ is $9$, so this confirms what we currently know: $f(x)$’s global maximum is indeed equal to $9$.

We’ll approach a similar process when finding the absolute maxima of different functions. Try out the problems shown below once you’re ready!

Example 1

Use the graph of $h(x)$ to answer the questions that follow.

finding the global maximum of the function

i) What is the interval covered by the graph shown above?

ii) What is the global maximum of the function?

iii) If $x = c$ is a critical point of $h’(x)$ and is within the interval of the curve, what can you say about $h(c)$ and $h(3.5)$?

The graph extends from $x=-1$ to $x = 3.5$, so the curve shown covers the interval, $[-1, 3.5]$.

Within the interval, $[-1, 3.5]$, we can see that the maximum value of $h(x)$ is $0.875$, so $h(x)$ has a global maximum of $0.875$.

This means that within the given interval, $h(3.5) = 0.875$ will be the highest point. Hence, $h(3.5)$ will always be greater than any value of $h(c)$ within the interval, $[-1, 3.5]$.

Example 2

Determine the absolute maximum of the function $g(x) = 3x + \dfrac$ over the interval, $[1, 4]$, if it exists.

The function $g(x)$ is continuous within the interval, $[1, 4]$. Let’s find the critical numbers of the function by finding $g^<\prime>(x)$.

Equate $g^<\prime>(x)$ to zero then find the critical numbers of $g(x)$ within the interval, $[1, 4]$.

This means that within the given interval, we have a critical number at $x =1$. Now, let’s check the values of $g(x)$ at $x= 1$ and $x = 4$.

From the results, we can see that $g(x)$ has an absolute maximum of $\dfrac$.

Example 3

Determine the absolute maximum of the function $f(x) = \dfrac$ over the interval, $[0, 5]$, if it exists.

The denominator of $f(x)$ will always be greater than $0$, so $f(x)$ is continuous throughout the interval, $[0, 5]$.Now, differentiate $f(x)$ to begin our process of finding the function’s critical numbers.

Equate $f^<\prime>(x)$ to zero to find the $f(x)$’s critical numbers.

Since $x^2$ will always be positive, the equation has no solution. This means that we can’t find $f(x)$’s critical numbers. Instead, let’s observe the values of $f(x)$ at its interval’s endpoints.

From this, we can see that $f(x)$’s global maximum for the interval $[0, 5]$ is $0$.

Example 4

Martha realized that its company’s weekly profit from the sale of $x$ units of office chairs can be modeled by the function, $P(x) = -0.04x^3 + 300x – 40000$. Their current production power can only manufacture a maximum of $120$ units each week. Their contracts with local shops require them to create at least $40$ units per week. What is the maximum possible profit that Martha’s company can make in a week?

The minimum number of office chairs that Martha’s company can make is $40$ while they can produce a maximum of $120$ units per week. This means that we’re finding the global maximum of $P(x) = -0.04x^3 + 432x – 40000$ within the interval, $[40, 120]$.

Let’s go ahead and find the critical numbers for $P(x)$. Find the values of $x$ that satisfy the equation, $P^<\prime>(x) = 0$.

Equate this expression to $0$ then find the values of $x$.

Disregard the negative root since $x$ represents the number of computer chairs, so $x$ will always be greater than zero. Evaluate $P(x)$ at $x=40$, $x=60$, and $x=140$.

Since $P(x)$ is highest when $x =40$, the maximum profit that Martha’s company can earn is $240$ dollars.

Practice Questions

1. Use the graph of $g(x)$ to answer the questions that follow.

Identifying the global maximum given the function s graph 1

i) What is the interval covered by the graph shown above?
ii) What is the global maximum of the function?
iii) If $x = c$ is a critical point of $g’(x)$ and is within the interval of the curve, what can you say about $g(c)$ and $g(2)$?

2. Determine the absolute maximum of the function $h(x) = 4x + \dfrac$ over the interval, $[2, 6]$, if it exists.

3. Determine the absolute maximum of the function $f(x) = \dfrac$ over the interval, $[1, 6]$, if it exists.

Answer Key

Images/mathematical drawings are created with GeoGebra.

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

Join / Login

Use app Login

You visited us 0 times! Enjoying our articles? Unlock Full Access!

  1. continuous but non-differentiable
  2. discontinuous and differentiable
  3. discontinuous and non-differentiable
  4. continuous and differentiable

A

discontinuous and differentiable

B

discontinuous and non-differentiable

C

continuous and differentiable

D

continuous but non-differentiable

Open in App

Verified by Toppr

Was this answer helpful?

Similar Questions

If f ( x ) = < x sin 1 x else where 0 x = 0 ,
then f ( x ) is

View Solution

Let f ( x ) = s i n − 1 ( 2 x √ 1 − x 2 ) , then

View Solution

The number of points where the function f ( x ) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 + [ cos π x 2 ] , 1 < x ≤ 2 1 − < x >, 0 ≤ x < 1 | sin π x | , − 1 ≤ x < 0 and f ( 1 ) = 0 is continuous but non-differentiable is/are (where [.] and <.>represent greatest integer and fractional part functions, respectively)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *