Сколько существует семизначных чисел палиндромов
Перейти к содержимому

Сколько существует семизначных чисел палиндромов

  • автор:

Палиндромы

Палиндром — это фраза, которая читается одинаково слева направо и справа налево. Например:

  • «was it a car or a cat I saw?»
  • «а роза упала на лапу Азора»
  • «abacaba» (палиндром нечётной длины)
  • «abba» (палиндром чётной длины)

Для простоты, мы будем рассматривать только последовательности из строчных латинских букв.

Палиндромы — не самые часто встречающиеся в реальной жизни объекты, однако задачи на палиндромы любят давать на соревнованиях по спортивному программированию. В этой статье мы опишем эффективные способы их представления.

Алгоритм Манакера

Пусть есть строка \(s\) и мы хотим найти в ней все подпалиндромы.

Мы сразу сталкиваемся с очевидной трудностью: их в строке может быть \(O(n^2)\) , что можно видеть на примере строки \(s = aa \ldots a\) . Поэтому будем использовать следующий формат: для каждой позиции \(s_i\) найдём наибольший палиндром, центр которого совпадает с \(s_i\) (чётные и нечётные палиндромы будем рассматривать отдельно). Половину его длины, округлённую вниз, будем называть радиусом.

Наивное решение — перебрать \(s_i\) , а для него вторым циклом находить наибольшую искомую длину:

 vectorint> pal_array(string s)  int n = s.size(); // окружим строку спецсимволами, чтобы не рассматривать выход за границы s = "#" + s + "$"; // в этом массиве будем хранить расстояние от центра до границы палиндрома vectorint> t(n, 0); for(int i = 1; i  n; i++) while (s[i - t[i - 1]] == s[i + t[i - 1]]) r[i-1]++; return r; >

Тот же пример \(s = aa\dots a\) показывает, что данная реализация работает за \(O(n^2)\) .

Для оптимизации применим идею, знакомую из алгоритма z-функции: при инициализации \(t_i\) будем пользоваться уже посчитанными \(t\) . А именно, будем поддерживать \((l, r)\) — интервал, соответствующий самому правому из найденных подпалиндромов. Тогда мы можем сказать, что часть наибольшего палиндрома с центром в \(s_i\) , которая лежит внутри \(s_\) , имеет радиус хотя бы \(\min(r-i, \; t_)\) . Первая величина равна длине, дальше которой произошел бы выход за пределы \(s_\) , а вторая — значению радиуса в позиции, зеркальной относительно центра палиндрома \(s_\) .

  vectorint> manacher_odd(string s)  int n = (int) s.size(); vectorint> d(n, 1); int l = 0, r = 0; for (int i = 1; i  n; i++)  if (i  r) d[i] = min(r - i + 1, d[l + r - i]); while (i - d[i] >= 0 && i + d[i]  n && s[i - d[i]] == s[i + d[i]]) d[i]++; if (i + d[i] - 1 > r) l = i - d[i] + 1, r = i + d[i] - 1; > return d; >

Так же, как и z-функция, алгоритм работает за линейное время: цикл while запускается только когда \(t_i = r — i\) (иначе палиндром уже во что-то упёрся), и каждая его итерация сдвигает увеличивает \(r\) на единицу. Так как \(r \leq n\) , получаем, что суммарно эти циклы сделают \(O(n)\) итераций.

Для случая чётных палиндромов меняется только индексация:

 vectorint> manacher_even(string s)  int n = (int) s.size(); vectorint> d(n, 0); int l = -1, r = -1; for (int i = 0; i  n - 1; i++)  if (i  r) d[i] = min(r - i, d[l + r - i - 1]); while (i - d[i] >= 0 && i + d[i] + 1  n && s[i - d[i]] == s[i + d[i] + 1]) d[i]++; if (i + d[i] > r) l = i - d[i] + 1, r = i + d[i]; > return d; >

Также можно было не писать отдельно две реализации, а воспользоваться следующим трюком — сделать замену:

\[ S = s_1 s_2 \dots s_n \to S^* = s_1 \# s_2 \# \dots \# s_n \]

Теперь нечётные палиндромы с центром в \(s_i\) соответствуют нечётным палиндромам исходной строки, а нечётные палиндромы с центром в \(\#\) — чётным.

Дерево палиндромов

Дерево палиндромов (англ. palindromic tree, EERTREE) — структура данных, использующая другой, более мощный формат хранения информации обо всех подпалиндромах, чем размеры \(n\) палиндромов. Она была предложена Михаилом Рубинчиком на летних петрозаводских сборах в 2014-м году.

Лемма. В строке есть не более \(n\) различных подпалиндромов.

Доказательство. Пусть мы дописываем к строке по одному символу и в данный момент, записав \(r\) символов, имеем наибольший суффикс-палиндром \(s_\) . Пусть у него, в свою очередь, есть суффикс-палиндром \(s_ = t\) . Тогда он также имеет более раннее вхождение в строку как \(s_ = t\) . Таким образом, с каждым новым символом у строки появляется не более одного нового палиндрома, и если таковой есть, то это всегда наибольший суффикс-палиндром.

Этот факт позволяет сопоставить всем палиндромам строки сопоставить следующую структуру: возьмём от каждого палиндрома его правую половину (например, \(caba\) для \(abacaba\) или \(ba\) для \(abba\) ; будем рассматривать пока что только чётные палиндромы) и добавим все эти половины в префиксное дерево — получившуюся структуру и будем называть деревом палиндромов.

Наивный алгоритм построения будет в худшем случае работать за \(O(n^2)\) , но это можно делать и более эффективно.

Построение за линейное время

Будем поддерживать наибольший суффикс-палиндром. Когда мы будем дописывать очередной символ \(c\) , нужно найти наибольший суффикс этого палиндрома, который может быть дополнен символом \(c\) — это и будет новый наидлиннейший суффикс-палиндром.

Для этого поступим аналогично алгоритму Ахо-Корасик: будем поддерживать для каждого палиндрома суффиксную ссылку \(l(v)\) , ведущую из \(v\) в её наибольший суффикс-палиндром. При добавлении очередного символа, будем подниматься по суффиксным ссылкам, пока не найдём вершину, из которой можно совершить нужный переход.

Если в подходящей вершине этого перехода не существовало, то нужно создать новую вершину, и для неё тоже понадобится своя суффиксная ссылка. Чтобы найти её, будем продолжать подниматься по суффиксным ссылкам предыдущего суффикс-палиндрома, пока не найдём второе такое место, которое мы можем дополнить символом \(c\) .

 const int maxn = 1e5, k = 26; int s[maxn], len[maxn], link[maxn], to[maxn][k]; int n, last, sz; void init()  s[n++] = -1; link[0] = 1; len[1] = -1; sz = 2; > int get_link(int v)  while (s[n-len[v]-2] != s[n-1]) v = link[v]; return v; > void add_char(int c)  s[n++] = c; last = get_link(last); if (!to[last][c])  len[sz] = len[last] + 2; link[sz] = to[get_link(link[last])][c]; to[last][c] = sz++; > last = to[last][c]; >

Здесь мы использовали обычный массив для хранения переходов. Как и для любых префиксных деревьев, вместо него можно использовтать бинарное дерево поиска, хэш-таблицу, односвязный список и другие структуры, позволяющие обменять время на память, немного изменив асимптотику.

Асимптотика

Покажем линейность алгоритма. Рассмотрим длину наибольшего суффикс-палиндрома строки. Каждый новый символ увеличивает её не более, чем на 2. При этом каждый переход по суффиксной ссылке уменьшает её, поэтому нахождение первого суффикс-палиндрома амортизировано работает за линейное время.

Аналогичными рассуждениями о длине второго суффикс-палиндрома (его длина увеличивается тоже не более, чем на 2) получаем, что пересчёт суффиксных ссылок при создании новых вершин тоже суммарно работает за линейное время.

Числа-палиндромы

число, запись которого симметрична / Материал из Википедии — свободной encyclopedia

Числа-палиндромы — числа, которые в определённой позиционной системе исчисления (как правило — в десятичной) читаются одинаково как справа налево, так и слева направо.

Достаточно просто доказать, что чисел-палиндромов бесконечно много. Одним из способов доказательства является замена любой выбранной цифры в их написании двумя любыми другими цифрами, в результате чего получается новое число-палиндром [1] .

Наибольшее из известных простых чисел-палиндромов было открыто в 1991 году Харви Дабнером. Выражение для него записывается следующим образом [1] :

10 11310 + 4661664 ⋅ 10 5652 + 1 +4661664\cdot 10^+1>

Очевидно, что числа-палиндромы с их увеличением становятся всё более и более редкими в последовательности натуральных чисел. Если каждое однозначное число по определению является палиндромом, то в диапазоне от 10 до 1000 их не более 10 %, а в диапазоне от 1 000 до 100 000 их уже около 1 % [2] .

Что значит число палиндром

Числа палиндромы – это числа, которые читаются одинаково как слева направо, так и справа налево. Например, числа 121, 12321 и 4444 являются палиндромами.

Интерес к числам палиндромам имеет древние корни. Впервые они были изучены в Древней Греции, а именно Платоном и другими математиками пифагорейской школы. Они заметили особые свойства и числовые закономерности, связанные с числами палиндромами.

Палиндромы являются не только объектом математического исследования, но и сулят огромный интерес для любителей головоломок и тех, кто пытается использовать их в разных областях науки и жизни. Например, палиндромы используются в криптографии для создания защищенных кодов и в множестве других завязанных на математике областях.

Число палиндром: определение и свойства

Что такое число палиндром?

Число палиндром – это число, которое остается неизменным при чтении его справа налево и слева направо. Другими словами, это число, которое одинаково читается в обоих направлениях.

Примеры чисел палиндромов: 121, 1331, 4554.

Свойства чисел палиндромов:

1. Симметрия числа:

В числах-палиндромах символы симметрично располагаются относительно центра числа. Например, в числе 121 цифры 1 симметрично расположены относительно цифры 2.

2. Инвариантность относительно перестановки цифр:

Палиндром остается палиндромом независимо от перестановки его цифр. Например, число 121 является палиндромом, как и число 211.

3. Связь с палиндромами в текстовых строках:

Числа палиндромы можно считать числовыми аналогами палиндромических строк. Оба понятия связаны концептуально и обозначают симметричную структуру.

Изучение чисел палиндромов имеет важное значение как в математике, так и в информатике, где палиндромические числа применяются в разных алгоритмах и задачах.

Что такое число палиндром?

Например, число 121 является палиндромом, так как оно читается одинаково в обоих направлениях. А число 123 не является палиндромом, так как оно будет читаться по-разному, если его цифры перевернуть.

Палиндромы встречаются не только в числах, но и в словах. Слово «шалаш» — хороший пример палиндрома, так как оно читается одинаково независимо от направления.

Числа палиндромы имеют особую симметричную структуру, что делает их интересными для научных исследований и математических задач.

Примеры чисел палиндромов

Число называется палиндромом, если его запись одинаково читается как слева направо, так и справа налево.

Ниже приведены некоторые примеры чисел палиндромов:

Число палиндром
11
22
33
44
55
66
77
88
99
101

Это всего лишь небольшая выборка чисел палиндромов, их существует бесконечно много. Каждое число палиндром обладает особой симметрией и уникальным свойством, что делает их интересными для изучения и анализа.

Значение чисел палиндромов в различных областях

Числа палиндромы имеют особое значение не только в математике, но и в различных других областях, таких как литература, технологии и культура.

  • Литература: В литературе числа-палиндромы могут использоваться для создания интересных письменных работ. Они могут быть использованы как символический элемент, задавая определенное настроение или идею в тексте. Например, число 121 можно использовать как символ стабильности и гармонии в повествовании.
  • Технологии: Числа-палиндромы также играют важную роль в технологиях, особенно в информационных системах и программировании. Они используются в различных алгоритмах и структурах данных для определения правильности ввода данных или в качестве хранилища информации.
  • Культура: Некоторые числа-палиндромы имеют символическое значение в различных культурах. Например, число 11 в некоторых культурах считается символом удачи или символом баланса. Это число может использоваться в культурных церемониях, ритуалах или даже в повседневной жизни.

Все эти примеры показывают, что числа-палиндромы имеют особое значение и могут быть использованы для усиления эффекта или передачи определенных идей в различных областях.

Числа палиндромы в математике

Примеры чисел палиндромов: 121, 2442, 12321.

Числа палиндромы, будучи интересным математическим свойством, обладают несколькими интересными свойствами:

Свойство Описание
Сумма двух палиндромов Если сложить два палиндрома, получится число, которое также является палиндромом. Например, 12321 + 2442 = 14763.
Произведение палиндрома и числа, полученного из палиндрома зеркальным отражением цифр Если умножить палиндром на число, полученное из палиндрома зеркальным отражением цифр, то результат также будет палиндромом. Например, 121 * 121 = 14641.

Числа палиндромы играют важную роль в математике и имеют применения не только в теории чисел, но и в различных алгоритмах и программировании. Они помогают разработчикам и математикам изучать и анализировать различные свойства чисел и создавать эффективные решения задач.

Числа палиндромы в программировании

Числа палиндромы используются в различных алгоритмах и задачах программирования. Они могут быть полезными для проверки симметрии данных, работы со строками, а также для решения задач, связанных с поиском или манипуляциями числовыми значениями.

Важной характеристикой чисел палиндромов является их уникальность и сравнительная редкость в общем числе всех чисел. Поэтому, обнаружение, создание или обработка чисел палиндромов может быть интересной задачей для программистов и математиков.

Кроме того, числа палиндромы могут быть использованы для оптимизации работы программ, например, при обработке больших данных. В некоторых случаях, использование чисел палиндромов может сократить вычислительные затраты, позволить более эффективно управлять ресурсами и повысить производительность системы.

В целом, числа палиндромы являются важным инструментом в программировании и математике, и их использование может быть полезным для создания эффективных и оптимизированных программных решений.

Полезность чисел палиндромов

Одним из основных примеров полезного применения чисел палиндромов являются глобальные номера автомобилей. Во многих странах номерные знаки имеют определенный формат, который включает в себя числа. Чтобы сделать номер более узнаваемым и запоминающимся, автомобильные компании часто используют числа палиндромы. Такие номера легче запомнить и легче отличить от других номеров.

В мире информационных технологий числа палиндромы также имеют особое значение. Например, они широко используются в алгоритмах проверки на ошибки при передаче данных и в алгоритмах шифрования. Использование чисел палиндромов в таких случаях позволяет обнаружить возможные ошибки или защитить данные от несанкционированного доступа.

Кроме того, числа палиндромы играют важную роль в различных играх и головоломках. Они могут использоваться в задачах, связанных с поиском и обработкой данных, а также при составлении числовых последовательностей и комбинаций.

Интерес к числам палиндромам простирается не только на практические области, но и на сферу математики. Математики изучают различные свойства чисел палиндромов и их взаимосвязи, что позволяет расширить наши знания о числовом мире.

Безопасность и шифрование

В криптографии, числа палиндромы могут использоваться для создания зашифрованных паролей или ключей, которые сложнее подобрать методом перебора. Благодаря своей особенности быть одинаковыми при чтении как вперед, так и назад, числа палиндромы обеспечивают дополнительный уровень безопасности.

Шифрование с использованием чисел палиндромов часто основано на алгоритмах, которые переводят символьные значения в числовые и наоборот. Например, каждый символ в пароле может быть преобразован в числовое значение и затем сложен с числом палиндромом, чтобы получить зашифрованное значение. Обратное преобразование может быть выполнено для получения исходного пароля.

Таким образом, числа палиндромы играют важную роль в обеспечении безопасности информации и шифрования данных. Использование таких чисел в качестве основы для создания паролей и ключей помогает защитить конфиденциальность и целостность информации от несанкционированного доступа.

ВЕЛИКИЕ ЗАГАДКИ МАТЕМАТИКИ

Wir müssen wissen, wir werden wissen! David Hilbert

Палиндромы

Числовым палиндромом называется число, которое одинаково читается справа-налево и слева-направо. Например, 1221 и 75557 – это палиндромы.

Все натуральные числа (1,2,3 и так далее до бесконечности) делятся на 3 больших группы:

(1) Палиндромы (88, 191 или 345232543)
(2) Числа, которые превращаются в палиндромы через несколько или много шагов после сложения числа с ним же, прочитанным в обратном порядке (например, 91: 91 + 19 = 110, 110 + 11 = 121 – палиндром).
(3) Числа Лишрел или числа, которые никогда не превращаются в палиндромы, сколько их не переворачивай и не складывай (самое известное из них – это число 196).

Современные задачи в области палиндромов сводятся к следующему:

(1) Нахождение числа, которому потребуется более 261 шагов для превращения в палиндром. Официальный мировой рекорд, установленный 30 ноября 2005 года, принадлежит 19-значному числу 1,186,060,307,891,929,990, которое через 261 итерацию становится 119-значным палиндромом (Most Delayed Palindrome World Record).
(2) Нахождение цепочки несвязанных (то есть, не полученных путем обращения друг из друга) чисел с большим количеством итераций (более 255 или, еще лучше, более 261) для превращения в палиндром.
(3) Проверка более чем 20-значных чисел для поиска длинных шагов их превращения в палиндромы. Сплошная проверка всех чисел до 19 знака заняла около 10 лет.
(4) Факторизация палиндромов (означает восстановление начальной цепочки чисел, “обращение и сложение” которых привел к образованию конечного палиндрома). Это задача, аналогично задаче о факторизации больших целых чисел считается “неразрешимой за разумное время” для больших палиндромов.

Мы сконцентрируем наши усилия по всем вышеизложенным направлениям.

ПОСЛЕДНИЕ НОВОСТИ

  • Гипотеза Чебышёва: график для DELTA(x)
  • Гипотеза Чебышёва: график для DELTA(x)
  • Гипотеза Чебышёва: график для DELTA(x)
  • Гипотеза Чебышёва: график для DELTA(x)
  • Гипотеза Чебышёва: график для DELTA(x)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *