Какие работы производятся с матрицей лд
Перейти к содержимому

Какие работы производятся с матрицей лд

  • автор:

Действия с матрицами

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Образно говоря, транспонировать – это значит взять матрицу за правый верхний угол и аккуратно повернуть её «на себя» по диагонали, «стряхивая» числа в столбцы транспонированной матрицы. Такая вот у меня ассоциация.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Умножить матрицу на матрицу
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

Умножить матрицу на матрицу

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Данная тема достаточно обширна, и я вынес этот пункт на отдельную страницу.

А пока спектакль закончен.

После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения.

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Операции над матрицами

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Равные матрицы

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 449 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Решение. Так как матрицы $A$ и $B$ равны, то равны и их соответствующие элементы, т.е. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Ответ. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Произведение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Задание. Пусть $A=\left( \begin \\ \end\right)$. Найти матрицу $2A$.

Ответ. $2 A=\left( \begin \\ \end\right)$

Подробная теория про умножение марицы на число по ссылке.

Сумма матриц

Суммой матриц $A$ и $B$ одного размера называется матрица $C = A+B$ такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы $A$, $B$ и $C$ — матрицы одного размера.

  1. Ассоциативность $(A+B)+C=A+(B+C)$
  2. $A+\Theta=\Theta+A$, где $\Theta$ — нулевая матрица соответствующего размера.
  3. $A-A=\Theta$
  4. Коммутативность $A+B=B+A$
  5. Дистрибутивность $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$
  6. $(\lambda+\mu) A=\lambda A+\mu A$
  7. $(\lambda \mu) A=\lambda(\mu A)$

Произведение двух матриц

Произведением матрицы $A_$ на матрицу $B_$ называется матрица $C_$ такая, что элемент матрицы $C$, стоящий в $i$-ой строке и $j$-ом столбце, т.е. элемент $C_$, равен сумме произведений элементов $i$-ой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы $j$-ого столбца матрицы $B$.

Решение. Так как $A=A_$, а $B=B_$, то в результате получим матрицу размера $C=C_$, т.е. матрицу вида $C=\left( \begin> \\ >\end\right)$ . Найдем элементы данной матрицы:

$c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=1 \cdot 1+2 \cdot 2+0 \cdot 3=5 $ $c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=3 \cdot 1+1 \cdot 2+(-1) \cdot 3=2 $

Таким образом, получаем, что:

Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:

Ответ. $C=A B=\left( \begin \\ \end\right)$

Свойства произведения матриц:

  1. Ассоциативность $(A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C)$
  2. Ассоциативность по умножению $(\mu \cdot A) \cdot B=\mu \cdot(A \cdot B)$
  3. Дистрибутивность $A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C$ , $(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C$
  4. Умножение на единичную матрицу $E_ \cdot A_=A_ \cdot E_=A_$
  5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. $A B \neq B A$
  6. $E A=A$

Транспонирование матриц

Транспонирование матрицы — это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Задание. Найти транспонированную матрицу $A^$, если $A=\left( \begin & & \\ & & \end\right)$

Свойства транспонирования матриц:

  1. $\left(A^\right)^=A $
  2. $(\lambda \cdot A)^=\lambda \cdot A^ $
  3. $(A+B)^=A^+B^ $
  4. $(A \cdot B)^=B^ \cdot A^ $

Линейные операции над матрицами: сложение и умножение матриц – теория и примеры

Матрицы изучаются в каждом ВУЗе. Основные операции – это сложение и умножение матриц. Для таких действий необходимо знать свойства матриц и несколько важных определений. Об этом и поговорим в данной статье.

Линейные операции над матрицами: сложение и умножение матриц – теория и примеры обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Сложение матриц

Определение

Сумма двух матриц и размером x называется матрица того же размера, каждый элемент которой равняется сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых, то есть и обозначается .

Если же , тогда – разница матриц.

Любые действия: вычитание, сложение или умножение матриц называются линейными действиями над матрицами.

У матриц есть такие свойства:

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. x = – в случае, если число , то есть коэффициент 1 можно отпустить, как в алгебре.
  6. .
  7. .
  8. .

Здесь обозначено – – нулевая матрица, а – противоположная матрице .

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Умножение матриц

Иногда в работе с таблицами (матрицами) приходится совершать определённые действия. Сложение мы рассмотрели, а теперь рассмотрим умножение матриц..

Определение

Произведением числа на матрицу размера x называется новая матрица того же размера, каждый элемент которой равняется соответствующему элементу матрицы умноженному на число , то есть:

Матрица (-1) – противоположна матрице , и обозначается . Действие сложения применяется только для тех матриц, которые одного и того же размера.

Умножение матриц имеет такие свойства:

  1. – произведение матриц ассоциативно;
  2. , где – число;
  3. x = – произведение матриц дистрибутивно;
  4. .

Определение

Произведение матрицы размером x на матрицу размером x называется матрица размером x, элементы которой равняются сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -того столбца матрицы , то есть:

Из структуры элементов понятна необходимость согласованности матриц и : каждому элементу в -той строке матрицы (первого сомножителя) и в -том столбце матрицы (второго сомножителя). Число строк и матрицы равняется числу строк первого сомножителя, а число столбцов – числу второго сомножителя.

Примеры на сложение и умножение матриц

Как уже описывалось ранее, сложение матриц производится тогда, когда матрицы одинаковые по размерам. Рассмотрим несколько примеров.

Примеры на сложение матриц

Решение:

Теперь находим – x и получим результат:

Рассмотрим ещё один пример, но более большой. Будьте внимательны и не спешите, так как очень часто можно ошибиться в знаках:

Примеры на умножение матриц

Приведём первый пример, на котором рассмотрим умножение матриц, где становится понятно, как составлять матрицы и какие операции с ними проводятся:

Шахтёры выполняют два вида работ: выемка пород и крепление. Эти работы при постоянной площади поперечного сечения могут измеряться в погонных метрах. Допустим, что в течение суток каждая из трёх смен добились таких результатов:

Смены Выемка (в м.) Крепление (в м.)
первая смена
вторая смена
третья смена

Эти результаты можно записать в виде матрицы размером :

Возьмём этот пример при подсчёте денежных затрат на выполнение робот в шахте. В матрице, которая у нас уже есть, записаны результаты работы за сутки каждой смены. Как уже упоминалось выше, результат работ измеряется в погонных метрах.

Заказчику необходимо знать, какую сумму придётся выделить на зарплату работникам, а какую на капитальные затраты. Это представим с виде матрицы расценок:

где первый столбец , – нормы зарплаты трудящихся: за 1 погонный метр по выемке породы, и, соответственно, за 1 погонный метр по креплению.

Второй столбец: , – капитальные затраты за 1 погонный метр выемки и за 1 погонный метр крепления.

Общие затраты на зарплату для каждой смены равняются произведению пройденного количества метров для каждого вида работ на определённые нормы расценок. Обозначим через сумму средств, которую заработала смена (). Аналогично подсчитываются капитальные затраты для смены по выемке и креплению.

Получим таблицу затрат:

Смены Затраты на зарплату по выемке и креплению Капитальные затраты по выемке и креплению
первая смена
вторая смена
третья смена

Эти данные запишем в виде новой матрицы затрат x, что получена из матриц и при помощи действий, которые называются умножение матриц, и обозначают:

Для умножения матрицы размером x на матрицу размером x необходима её согласованность, то есть, чтобы число столбцов матрицы (первого сомножителя) совпадало с числом строк матрицы (второго сомножителя). В приведенном примере матрица согласована с матрицей (для каждого вида работ – нормы расценок). Однако, в примере, который представлен выше, матрица не согласована с матрицей .

Найти произведение матриц и , если:

Решение:

У матрицы размер x, а размер матрицы – x. У матрицы 2 столбца, а у матрицы 2 строки, а это значит, что матрицы согласованы, так как можно умножать матрицу на матрицу . В результате получим матрицу размером x, то есть:

Матрица — виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Матрицей называется таблица чисел (выражений), имеющая m строк и n столбцов:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В дальнейшем будем писать матрицу в сокращенном виде

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется матрицей-строкой

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матрицей-столбцом

Пример:

Следующие таблицы являются матрицами

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Матрица, у которой совпадает количество столбцов с количеством строк, называется квадратной.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Всякой квадратной матрице соответствует определитель, составленный из тех же матричных элементов, который в теории матриц называется детерминантом матрицы

Определение: Транспонированной к исходной квадратной матрице называется такая матрица, строки которой заменены на соответствующие столбцы, а столбцы — на соответствующие строки.

Замечание: Согласно свойству 1. для определителей (см. Лекцию № 1) для квадратных матриц детерминант исходной матрицы равен детерминанту транспонированной матрицы.

Определение: Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение: Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю:

Действия над матрицами

1. Суммой (разностью) двух матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияодинаковой структуры называется матрица той же размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлементы которой вычисляются по формуле: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Найти сумму (разность) матриц

Решение:

Из приведенных матриц складывать (вычитать) можно только матрицы А и С, которые имеют одинаковую структуру. Найдем сумму:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

и разность этих матриц:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

2. При умножении вещественного числа k на матрицу все элементы матрицы умножаются на это число.

Пример:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Умножить (-2) на матрицу

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Результат умножения имеет вид

3. Произведением матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлементы которой вычисляются по формуле: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Замечание: Перемножать можно лишь те матрицы, для которых количество столбцов первой перемножаемой матрицы совпадает с количеством строк второй перемножаемой матрицы. Матрица, получаемая в результате перемножения, имеет количество строк равное количеству строк первой матрицы и количество столбцов равное количеству столбцов второй матрицы.

Пример:

Найти (возможные) произведения матриц

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица А имеет структуру 2×3, матрица В — 2×2, матрица С — 3×2. Согласно определению можно найти произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияНе существуют произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияВычислим произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияПрежде всего, определим структуру результирующей матрицы: имеем размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияубирая подчеркнутые цифры, получим структуру результирующей матрицы 2×3. Вычислим ее элементы. Для того чтобы найти элементы возможных произведений, надо просуммировать произведения элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Остальные возможные произведения найти самостоятельно.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Замечание: Из приведенного примера видно, что в общем случае произведение матриц некоммутативно (неперестановочно), т. е.

Определение: Обратной матрицей к исходной квадратной матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятой же структуры, произведение которой с матрицей А коммутативно и равно единичной матрице, то есть Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Рассмотрим схему построения обратной матрицы

  • находят детерминант матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— определитель матрицы А , если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то обратной матрицы не существует);
  • вычисляют алгебраические дополнения Матрица - виды, операции и действия с примерами решениявсех элементов определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения;
  • записывают выражение для обратной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Замечание: Обращаем внимание на то, что матрица алгебраических дополнений записана в транспонированном виде.

Пример:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Найти обратную матрицу к матрице

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Вычислим детерминант данной матрицы раскроем этот определитель по элементам первой строки:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов определителя: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияЗапишем обратную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, для чего воспользуемся ее определением. Умножим найденную матрицу на исходную матрицу, вычислим элементы результирующей матрицы

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Таким образом, т.е. найдена верно.

Основные сведения о матрицах

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное — компактной матричной форме.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С, . а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— номер строки, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— номер столбца.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

или, в сокращенной записи,

Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияНаряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решениядля любых Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.)

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

В этой записи, например, матричный элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияпоказывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Виды матриц

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца — матрицей (вектором)-столбцом: — матрица-строка;

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

— матрица-столбец.

Матрица называется квадратной Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например, — квадратная матрица третьего порядка.

Элементы матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, у которых номер столбца равен номеру строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

—диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей -го порядка, она обозначается буквой Е.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например,— единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые — специфические.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлементы которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решениядля Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например, если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е.

Сложение матриц

Суммой двух матриц А и В одинакового размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, элементы которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решениядля Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(т.е. матрицы складываются поэлементно).

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В частном случае A + 0 = A.

Вычитание матриц

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции:

Умножение матриц

Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второйМатрица - виды, операции и действия с примерами решения. Тогда произведением матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается такая матрицаМатрица - виды, операции и действия с примерами решения, каждый элемент которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияравен сумме произведений элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки матрицы А на соответствующие элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го столбца матрицы В:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример №1

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Вычислить произведение матриц , где

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

1. Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):

2. Вычислим элементы матрицы-произведения С, умножая элементы каждой строки матрицы А на соответствующие элементы столбцов матрицы В следующим образом:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Получаем ►

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из определений этих операций):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

а)Если произведение матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясуществует, то после перестановки сомножителей местами произведения матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияможет и не существовать. Действительно, в примере 1.1 получили произведение матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, а произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияне существует, так как число столбцов первой матрицы не совпадает с числом строк второй матрицы.

б)Если даже произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясуществуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

Пример №2

Найти произведения матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решения:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения► в) В случае, когда оба произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясуществуют и оба — матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е.Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример №3

Найти произведения матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияВ частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-гo порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произведение равно А:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

г) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, не следует, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияили,Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Возведение в степень

Целой положительной степенью Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияквадратной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматриц, равных Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т.е.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

По определению полагают Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияНетрудно показать, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример №4

Найти Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Обращаем внимание на то, что из равенства Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияеще не следует, что матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы — переход от матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияк матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается транспонированной относительно матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияИз определения следует, что если матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияимеет размер Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то транспонированная матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияимеет размер Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, .

Свойства операции транспонирования:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Рекомендуем читателю доказать их самостоятельно. Рассмотренные выше операции над матрицами позволяют упростить решения некоторых экономических задач.

Пример №5

Предприятие выпускает продукцию трех видов: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи использует сырье двух типов: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где каждый элемент показывает, сколько единиц сырья

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го типа расходуется на производство единицы продукции Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) — матрицей-столбцом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.

Решение:

Затраты 1-го сырья составляют Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияед. и 2-го — Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияед., поэтому матрица-строка затрат сырья Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияможет быть записана как произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда общая стоимость сырья Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияден. ед. может быть записана в матричном виде Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияОбщую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

а затем общую стоимость сырья

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

На данном примере мы убедились в выполнении свойства 7 (см. с. 13) — ассоциативного закона произведения матриц:

Определители квадратных матриц

Необходимость введения определителя — числа, характеризующего квадратную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, — тесно связана с решением систем линейных уравнений (см. гл. 2). Определитель матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияобозначается Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияили Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определителем матрицы первого порядка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, или определителем первого порядка, называется элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияНапример, пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятогда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определителем матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Произведения а Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназываются членами определителя второго порядка. Например, пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятогда

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияОпределителем матрицы третьего порядка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу (1.4), легко запомнить, пользуясь схемой (рис. 1.1), которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример №6

Вычислить определитель третьего порядка

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Для того чтобы ввести понятие определителя более высокого порядка, потребуются некоторые дополнительные понятия. Рассмотрим квадратную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-гo порядка: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из общего числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлементов этой матрицы выберем набор, содержащий Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлементов, таким образом, чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Например, набор элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияили Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясоответственно главной и побочной диагоналей матрицы.

Любой такой набор можно упорядочить, записав сначала элемент из 1-й строки, затем из 2-й и т.д., т.е.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Номера столбцов Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияобразуют при этом перестановку Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияиз Матрица - виды, операции и действия с примерами решениячисел: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияВсего существует Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияразличных перестановок из Матрица - виды, операции и действия с примерами решениянатуральных чисел.

Введем понятие беспорядка, или инверсии, в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияЭто наличие пары чисел, в которой большее число предшествует меньшему. Например, в перестановке из трех чисел Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияимеется одна инверсия (2; 1), а в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— три: (3; 2), (3; 1), (2; 1). Обозначим через Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияколичество инверсий в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Возвращаясь к наборам (1.5) из элементов матрицы мы можем каждому такому набору поставить в соответствие произведение его элементов:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

и число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, равное количеству инверсий в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияиз номеров соответствующих столбцов.

Определение. Определителем квадратной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, или определителем Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, называется число, равное алгебраической сумме Матрица - виды, операции и действия с примерами решениячленов, каждый из которых является произведением Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— число инверсий в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияиз номеров столбцов элементов матрицы, ест при этом номера строк записаны в порядке возрастания:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решениягде сумма берется по всем перестановкам Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияПроверим, например, что при Матрица - виды, операции и действия с примерами решениямы получаем введенный ранее определитель третьего порядка (1.4):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

то же число, что и по формуле (1.4).

Заметим, что с ростом Матрица - виды, операции и действия с примерами решениярезко увеличивается число членов определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияпоэтому даже для Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияиспользование формулы (1.7) весьма трудоемко (получим 24 слагаемых!).

На практике при вычислении определителей высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка.

Минором Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка называется

определитель матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, полученной из матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решениявычеркиванием Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки и Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияго столбца.

Например, минором элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятретьего порядка будет: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияКаждая матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка имеет Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияминоров Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка.

Алгебраическим дополнением Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка называется его минор, взятый со знаком Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— четное число, и отличается от минора знаком, когда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— нечетное число.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например,

Пример №7

Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы (из примера 1.6):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Важное значение для вычисления определителей имеет следующая теорема.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

(разложение по элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки; Матрица - виды, операции и действия с примерами решения);

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

(разложение по элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го столбца; Матрица - виды, операции и действия с примерами решения).

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияУбедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Точнее данная теорема является частным случаем теоремы Лапласа.

После преобразований (представляем их сделать читателю) нетрудно убедиться в том, что полученное выражение совпадает с определением (1.4). Аналогичный результат получаем разложением определителя матрицы по любой строке или столбцу.

Пример №8

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Вычислить определитель треугольной матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Раскладывая по первому столбцу, получаем:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

На частном примере мы убедились в том, что определитель треугольной (и, очевидно, диагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что позволяет свести вычисление определителей Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка к вычислению более простых определителей Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка.

Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то ее определитель умножится на это число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Пусть определитель исходной матрицы равен Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Для определенности первую строку матрицы умножим на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, получим новый определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, который разложим по элементам первой строки:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех ее элементов. Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения, но Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

□ Предположим вначале, что переставлены две соседние строки матрицы: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияРазложим определитель исходной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияпо элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки, а определитель новой матрицы (с переставленными строками) Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— по элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки. Разложения будут отличаться только знаком, так как в формуле (1.9) для Матрица - виды, операции и действия с примерами решениякаждое алгебраическое дополнение будет иметь противоположный знак (множители Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясменятся на множители Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, поэтому Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если переставить не соседние строки, а, скажем, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-ю и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-ю, то такую перестановку можно представить как последовательное смещение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки на Матрица - виды, операции и действия с примерами решениястрок вниз (при этом каждый раз знак определителя меняется), Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки на Матрица - виды, операции и действия с примерами решениявверх, что тоже сопровождается Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияизменением знака, т.е. знак поменяется нечетное число Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияраз: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Доказательство для столбцов аналогично.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки <столбца), то ее определитель равен 0.

□Действительно, переставим эти строки (столбцы). С одной стороны, определитель не изменится, но, с другой стороны, по свойству 4 поменяет знак, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, откуда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

□ Пусть для определенности пропорциональны первая и вторая строки. Тогда, вынося коэффициент пропорциональности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, получаем по свойству Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияимеет две одинаковые строки и по свойству 5 равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Рассмотрим квадратную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи вспомогательную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, полученную из матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решениязаменой Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-ю:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

т.е. матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияимеет две одинаковые строки, поэтому согласно свойству 5 ее определитель равен 0. Вычисляя его разложением по элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки, получаем:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Замечание. Объединяя результат теоремы Лапласа и свойство 7, получаем:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Пусть для определенности к элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-Й строки матрицы прибавим элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки, умноженные на Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияТогда первая строка матрицы имеет вид: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияОпределитель полученной матрицы вычислим разложением по элементам Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения алгебраические дополнения элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки исходной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияРаскроем скобки и получим после преобразования:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Используя формулу (1.12), получаем, что первая сумма равна определителю исходной матрицы, а вторая — 0, т.е.

9. Сумма произведений произвольных чисел Матрица - виды, операции и действия с примерами решения на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Свойство вытекает непосредственно из теоремы Лапласа.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения —матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка.

Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисление, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1—9, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).

Пример №9

Вычислить определитель четвертого порядка:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Преобразуем матрицу так, чтобы в 3-й строке все элементы, кроме одного, обращались в 0. Для этого умножим, например, элементы 3-го столбца на (-4) и на 2 и прибавим их соответственно к элементам 1-го и 2-го столбцов. Раскладывая полученный определитель по элементам третьей строки, найдем Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияПолученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или с помощью теоремы Лапласа, однако можно продолжить упрощение матрицы. «Обнулим» в матрице третьего порядка элементы 2-й строки (кроме одного). Для этого элементы 3-го столбца матрицы, предварительно умножив на (—13) и на 4, сложим с элементами 1-го и 2-го столбцов соответственно:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Раскладывая по элементам множители, получаем:

Обратная матрица

Для каждого числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясуществует обратное число Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятакое, что произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияДля квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается обратной по отношению к квадратной матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияявляется необходимым и достаточным условием существования числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решениято для существования матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятаким условием является требование Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если определитель матрицы отличен от нуля Матрица - виды, операции и действия с примерами решениято такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при Матрица - виды, операции и действия с примерами решения)— вырожденной, или особенной.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Необходимость. Пусть матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияимеет обратную Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т.е Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. По свойству 10 определителей имеем

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Достаточность. Пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияРассмотрим квадратную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназываемую присоединенной*, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, транспонированной к Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияТогда элементы произведения матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияопределяются по правилу умножения матриц: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияПоэтому матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияявляется диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Аналогично доказывается, что произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияна Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияравно той же матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияОтсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

то произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияравны единичной матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятакие, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения получена по формуле (1.14), и выполняются равенства: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Тогда, умножая наМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияслева первое из них, получаем: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, откуда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Аналогично, умножая второе равенство на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения справа, получаем Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Единственность доказана. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

  • 1°. Находим определитель исходной матрицы. Если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— вырожденная и обратной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения не существует. Если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— невырожденная и обратная матрица существует.
  • 2° . Находим матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, транспонированную к Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.
  • 3°. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи составляем из них присоединенную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения
  • 4° . Вычисляем обратную матрицу по формуле (1.14).
  • 5°. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, исходя из ее определения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(п. 5° не обязaтeлeн).
Пример №10

Найти матрицу, обратную к данной:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

1°. Определитель матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(см. пример 1.6), т.е. матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— невырожденная и обратная матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения существует.

2°. Находим матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, транспонированную к Матрица - виды, операции и действия с примерами решения:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

3°. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи составляем из них присоединенную матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, учитывая, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

4° . Вычисляем обратную матрицу

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

5°. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формулам:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

(рекомендуем в этом убедиться самому читателю). ►

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

В матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияразмера Матрица - виды, операции и действия с примерами решениявычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-то порядка, где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Определители таких подматриц называются минорами Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например, из матрицы можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияобозначается Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияили Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из определения следует: а) ранг матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияне превосходит меньшего из ее размеров, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения;

б) Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения;

в) для квадратной матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения тогда и только тогда, когда матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— невырожденная.

Пример №11

Вычислить ранг матрицы

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияимеет четвертый порядок, поэтому Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияОднако Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятак как матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясодержит нулевой столбец, поэтому Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияВсе подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют нулевые определители, значит Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияВсе подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй или четвертый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияПоскольку матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясодержит ненулевые элементы, т.е. невырожденные подматрицы первого порядка, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. ►

Пример №12

Вычислить ранг матрицы

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Для матрицы .

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Проверим, равен ли ранг 3-м, для этого вычислим все миноры третьего порядка, т.е. определители всех подматриц третьего порядка (их всего 4, они получаются при вычеркивании одного из столбцов матрицы):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, Так как существует ненулевой минор второго порядка, например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

  1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).
  2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.
  3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
  4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
  5. Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияПри изучении свойств определителей было показано, что при преобразованиях квадратных матриц их определители либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате сохраняется наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы, т.е. ее ранг не изменяется. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается ступенчатой, если она имеет вид: Матрица - виды, операции и действия с примерами решениягде Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Замечание. Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, так как имеется минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-го порядка, не равный нулю:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Покажем на примере алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Пример №13

Найти ранг матрицы

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Решение:

1°. Если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то при перестановке строк или столбцов добиваемся того, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. В данном примере поменяем местами, например, 1-ю и 2-ю строки матрицы (см. ниже).

2°. Если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то умножая элементы 2-й, 3-й и 4-й строк на подходящие числа (именно на Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам 2-й1, 3-й и 4-й строк, добьемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме Матрица - виды, операции и действия с примерами решения) равнялись нулю:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения3°. Если в полученной матрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(у нас Матрица - виды, операции и действия с примерами решения), то умножая элементы 3-й и 4-й строк на подходящие числа (а именно, на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения), добьемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме Матрица - виды, операции и действия с примерами решения) равнялись нулю. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей (как в данном примере), то отбрасываем эти строки (или столбцы):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка, не равные нулю, например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно, и данной матрицы равен 2. ►

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

5) Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияесли Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— квадратная матрица и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

6) Матрица - виды, операции и действия с примерами решениягде Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— число столбцов матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияили строк матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматрице Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияобозначим ее строки следующим образом:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Строка е называется линейной комбинацией строк Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где — любые числа.

Строки матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназываются линейно зависимыми, если существуют такие числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.т, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где 0 = (0 0. 0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияДействительно, пусть для определенности в формуле (1.17) Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, тогда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где

Таким образом, строкаМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияявляется линейной комбинацией остальных строк. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если линейная комбинация строк (1.17) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияравны нулю, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназываются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки <столбцы).

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияПусть матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияразмера Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияимеет Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Это означает, что существует отличный от нуля минор -го порядка. Всякий ненулевой минор -го порядка будем называть базисным минором. Пусть для определенности это минор

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда строки матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решениялинейно независимы. Действительно, предположим противное, т.е. одна из этих строк, например Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, является линейной комбинацией остальных:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Вычтем из элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки элементы 1-й строки, умноженные на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, элементы 2-й строки, умноженные на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, и т.д., наконец, элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки, умноженные на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. На основании свойства 8 (см. § 1.4) при таких преобразованиях матрицы ее определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияне изменится, но так как теперь г-я строка будет состоять из одних нулей, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— противоречие, и наше предположение о том, что строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматрицы линейно зависимы, неверно.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Строки назовем базисными.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Покажем, что любые строк матрицы линейно зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Рассмотрим минор -го порядка, который получается

при дополнении рассматриваемого минора элементами еще одной строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи столбца Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Этот минор равен нулю, так как ранг матрицы равен , поэтому любой минор более высокого порядка равен нулю.

Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где последнее алгебраическое дополнение Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясовпадает с базисным минором Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи поэтому отлично от нуля, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Разделив последнее равенство на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, можем выразить элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решениякак линейную комбинацию:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где

Фиксируем значение Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи получаем, что для любого Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-й строки Матрица - виды, операции и действия с примерами решениялинейно выражаются через элементы строк Матрица - виды, операции и действия с примерами решеният.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения-я строка есть линейная комбинация базисных:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Теорема о ранге матрицы играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности при исследовании систем линейных уравнений.

Матрицы в линейной алгебре

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

(9.1)

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера m х n или (n,m)-матрицей.

Матрицу (9.1) будем обозначать А или Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназываются элементами матрицы, индекс i обозначает номер строки, а индекс j — номер столбца, на пересечении которых расположен элемент.

Если m = n, то матрица (9.1) называется квадратной матрицей порядка n.

В квадратной матрице n-го порядка диагональ, состоящая из элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается главной диагональю, состоящая из элементов а,п, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— побочной диагональю.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Квадратная матрица:

называется диагональной. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то такая матрица называется скалярной. Скалярная матрица, у которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.

Матрицы А и В называются равными, если их размеры одинаковы и элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, равны.

Операции над матрицами

Суммой двух матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияодинакового размера называется матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятого же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

  1. Коммутативность, т.е. А + В = В + А.
  2. Ассоциативность, т.е. (А + B)+ С = А + (В + С).
  3. Для любых двух матриц А и В одинакового размера существует единственная матрица X такая, что А + X = В. Матрица X обозначается X = В-А и называется разностью матриц В и А. Урав-=нение А + Х = 0 имеет решение Х = 0-А, получающаяся при этом матрица называется противоположной А и обозначается — А.

Произведением матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияна число Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В этом случае произведением матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияна матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

т.е. элемент, стоящий в n -той строке и j-том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов n’-той строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

Свойства умножения:

  1. Если матрица А согласована с матрицей В, а матрица В согласована с матрицей С, то А • В• С = (А Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияВ)- С = А Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияС) — ассоциативность умножения;
  2. (А + В\С = АС + ВС, А-(В + С)= АВ + АС — свойство дистрибутивности;
  3. Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило,Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Транспонированием матрицы А называется операция замены местами строк и столбцов с сохранением порядка их следования, т.е. i-я строка матрицы А становится i -тым столбцом транспонированной матрицы. Матрица, транспонированная к матрице А обозначается .

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Свойства транспонирования:

Определитель матрицы

Далее будем рассматривать только квадратные матрицы. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, называемое определителем матрицы и вычисляемое по определенному правилу.

Определитель матрицы естественно возникает при решении систем линейных уравнений, или в свернутой форме Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, или в свернутой форме Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Предыдущая формула получается разложением определителя по первой строке.

Возьмем теперь квадратную матрицу n -го порядка

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Для записи определителя n-го порядка матрицы А будем применять обозначения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. При n = 1 матрица A состоит из одного элемента и ее определитель равен этому элементу. При n = 2 получаем определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Минором Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматрицы A называют определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемого из матрицы Л вычеркиванием i-той строки и j-го столбца.

Пример №14

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Найти минор матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

По определению, минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияесть определитель матрицы, получаемой из матрицы А вычеркиванием первой строки и второго столбца. Следовательно, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Алгебраическим дополнением элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматрицы А называется минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решения взятый со знаком Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияАлгебраическое дополнение элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения обозначается Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияследовательно, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Пример №15

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Найти алгебраическое дополнение элемента , матрицы А из примера 7.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называется число:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где аи Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— элементы первой строки матрицы (9.2), а Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияих алгебраические дополнения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Запись по формуле (9.3) называется разложением определителя но первой строке.

Рассмотрим свойства определителей.

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому определение определителя можно сформулировать так:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называется число:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

(9.4)

где Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— элементы первого столбца матрицы (9.2), а Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияих алгебраические дополненияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Свойство 2. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы А, то ее определитель изменит знак на противоположный.

Свойства 1 и 2 позволяют обобщить формулы (9.3) и (9.4) следующим образом:

Определитель квадратной матрицы n-го порядка (будем в дальнейшем говорить определитель n-го порядка) равен сумме попарных произведений любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Свойство 3. Определитель, y которого две строки или два столбца одинаковы, равен нулю.

Действительно, поменяем в определителе Матрица - виды, операции и действия с примерами решениядве одинаковые сроки местами. Тогда, по свойству 2 получим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, но с другой стороны, определитель не изменится, т.е.Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. ОтсюдаМатрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Свойство 4. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения умножить на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то определитель умножится на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Умножим элементы i-той строки на . Тогда получим определитель:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Следствие 1. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Определитель, у которого две строки (два столбца) пронорциональныу равен нулю.

Пусть i-я строка пропорциональна j-ой строке. Вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 3 равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: у одного из них i-той строкой (столбцом) служат первые слагаемые, а у другого — вторые.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Разложив определитель по i -той строке получим:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Прибавив к элементам i-той строки определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясоответствующие элементы j-ой строки, умноженные на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, получим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияОпределитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияравен сумме двух определителей: первый естьМатрица - виды, операции и действия с примерами решения, а второй равен нулю, так как у него i-тая и j-тая строки пропорциональны.

Свойство 8. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Рассмотрим вспомогательный определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, который получается из данного определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решениязаменой j-той строки i-той строкой. Определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияравен нулю, так как у него две одинаковые строки. Разложив его по j-той строке получим:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Большое значение имеет следующий критерий равенства определителя нулю. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если одна (один) из них является линейной комбинацией с действительными коэффициентами остальных.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих квадратных матриц, т.е. .

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы А обозначают rankA или rА.

Если все миноры порядка к данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы.

Если все миноры первого порядка (элементы матрицы А) равны нулю, то rankA = 0. Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то rankA = 1. Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка к, окаймляющие ненулевой минор (A-l)-ro порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда rankA = к -1.

Пример №16

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Вычислить ранг матрицы

Минор первого порядка (элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения) отличен от нуля. Окаймляющий его минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятоже не равен нулю.

Далее рассмотрим миноры, окаймляющие минор М :

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Все эти миноры равны нулю, значит rankA = 2. Приведенный алгоритм нахождения ранга матрицы не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого числа определителей. Наиболее удобно пользоваться при вычислении ранга матрицы элементарными преобразованиями, при помощи которых матрица приводится к столь простому виду, что очевидно, чему равен ее ранг.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

  • > умножение какой-нибудь строки (столбца) матрица на число, отличное от нуля;
  • > прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.

Полужордановым преобразованием строк матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со строками матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

  • > k первой строке прибавить k-ю, умноженную на число и т.д.;

> k последней строке прибавить k — го, умноженную на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияПосле выполнения этих преобразований получается матрица:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Полужордановым преобразованием столбцов матрицы с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со столбцами матрицы:

  • > к первому столбцу прибавить k-й, умноженный на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи т.д.;
  • > к последнему столбцу прибавить k -й, умноженный на число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

После выполнения этих преобразований получается матрица:

Полужорданово преобразование строк или столбцов квадратной матрицы не изменяет ее определителя. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Покажем на пример, как вычислить ранг матрицы, пользуясь элементарными преобразованиями.

Пример №17

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Вычислить ранг матрицы

Применим к матрице А элементарные преобразования: первую строку матрицы, умноженную на (-3) прибавим ко второй и третьей и ее же вычтем из последней.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Вычитая далее вторую строку из третьей и последней, имеем:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Последняя матрица содержит отличный от нуля минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятретьего порядка, определитель же самой матрицы А равен нулю. Следовательно, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Отметим два важных свойства ранга матрицы:

  • Ранг матрицы не меняется при ее транспонировании;
  • Если ранг матрицы равен г, то любые ее г + 1 строк (столбцов) линейно зависимы.

Обратная матрица

Пусть А — квадратная матрица порядка n. Матрица В называется обратной матрицей к матрице А, если выполняются равенства А-В = В■ А = Е, где Е — единичная матрица порядка n.

Теорема 1. Если для данной матрицы существует обратная матрица, то она единственная.

Пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— матрицы, обратные к матрице А. Тогда Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияс другой стороны, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Откуда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Обратную матрицу к матрице А обозначают Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Теорема 2. Матрица А имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи, применяя теорему об умножении определителей, получаем Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияили Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Следовательно, .

Пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Укажем явное выражение матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решениячерез элементы матрицы А, а именно: если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

здесь Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— алгебраическое дополнение к элементу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Матрица (9.5) получается из матрицы А следующим образом. Сначала вместо каждого элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияпишется его алгебраическое дополнение, затем полученная матрица транспонируется и получается т.н. присоединенная матрица. Для получения обратной матрицы присоединенная матрица умножается на величину, обратную Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Непосредственное умножение А на матрицу (9.5) слева и справа дает единичную матрицу, что подтверждает, что (9.5) — матрица, обратная к А.

Пример №18

Найти обратную матрицу к матрице

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Так как Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясуществует. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решениянаходим в два приема, согласно формуле (9.5). Сначала запишем матрицу В, состоящую из алгебраических дополнений элементов Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияЗатем матрица В транспонируется и умножается на число обратное Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, в данном случае — на (-1). Окончательно получаем:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Отметим свойства обратных матриц. Если А и В — невырожденные матрицы одинакового порядка, то:

Матрицы и определители

Определение и типы матриц

Определение 3.1.1. Прямоугольная таблица Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(3.1.1) состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размером Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Числа называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы имеет два индекса, первый индекс i обозначает номер строки, второй индекс j — номер столбца.

Матрицы удобно обозначать в виде Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, при Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Фигурные (круглые) скобки, двойные прямые вертикальные линии показывают, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— типовой элемент матрицы А, в котором индексы i и j последовательно принимают все значения от 1 до указанных конечных величин.

Превратим в матрице (3.1.1) строки в столбцы, а столбцы в строки, получим матрицу Матрица - виды, операции и действия с примерами решениякоторая называется транспонированной по отношению к А. Если размер А Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияразмерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Повторное транспонирование приводит к исходной матрице: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Пример №19

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

элементы которой характеризуют зависимость средних розничных цен на автомобили от срока их службы в 1998, 1999 и 2000 гг. Строки матрицы соответствуют продолжительности эксплуатации автомобиля, а столбцы — годам. Содержательное значение каждого элемента матрицы определяется его местом в данном массиве чисел. Например, число 3100 во второй строке и втором столбце, элемент с/22> представляет среднюю розничную цену автомобиля прослужившего два года в 1999 г. Следовательно, числа, записанные в строку, характеризуют цены автомобилей, прослуживших один и гот же срок службы в разные годы 1998-2000 гг., а числа в столбце — цены автомобилей различного срока службы в данном году.

В той мере, в какой это связано с характеристикой цен па автомобили, такой выбор строк матрицы полностью произволен, и мы могли бы сразу же поменять местами строки и столбцы без какой-либо потери информации, получив строки для отдельных лет и столбцы для сроков службы, т.е. получили бы транспонированную матрицу по отношению к матрице Р:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Хотя элементы матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияте же, что и матрицы Р, обе матрицы не одинаковые. Взаимосвязь этих матриц проявляется в том, что строки матрицы Р являются столбцами матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Если, элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматрицы А неотрицательные (положительные) действительные числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то матрица А называется неотрицательной (положительной) и записывается Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица Р в примере 3.1.1 является положительной матрицей, так как её элементы положительные действительные числа.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица, состоящая из одной строки , называется матрицей-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

называется матрицей-столбцом. Транспонированием переводят матрицу-строку в матрицу-столбец, и наоборот.

Если m=n, то матрица называется квадратной, при этом число строк (столбцов) называется порядком квадратной матрицы.

Рассмотрим некоторые виды квадратных матриц.

Квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Она обозначается символомМатрица - виды, операции и действия с примерами решения:Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если в диагональной матрице то она называется скалярной. Скалярная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, называется единичной:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю, называется верхнетреугольной («матрица А). Аналогично, если в квадратной матрице нулю равны все элементы, стоящие выше главной диагонали, то она называется нижнетреугольной (матрица В).

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица A — верхнеугольная, а В — нижнетреугольная. Квадратная матрица называется ленточной, если все её элементы, не стоящие на главной диагонали и в соседних с ней косых строках, равны нулю. Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В ленточной матрице не равные нулю элементы заполняют «ленту», осью которой служит главная диагональ. Ленточная матрица называется модулированной, если в каждой косой строке стоят одинаковые элементы:

Квадратная матрица называется симметрической, если её элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, одинаковы: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения; если жеМатрица - виды, операции и действия с примерами решения, то матрица А называется кососимметрической. Симметрическая матрица совпадает с транспонированной матрицей, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Например, матрица, характеризующая влияние факторов на инвестиции и запасы, является симметрической матрицей вида:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,29, характеризующий зависимость использования мощностей и изменения объёмов запасов, совпадает с элементом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,29, характеризующим зависимость между изменением объёмов запасов и использованием мощностей; элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,15, характеризующий зависимость между изменением общей величины хозяйственных запасов и суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность, совпадает с элементом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,15, характеризующим зависимость между суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность и изменением общей величины хозяйственных запасов; элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,71, характеризующий зависимость между степенью использования производственных мощностей и суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность, совпадает с элементом Матрица - виды, операции и действия с примерами решения=0,71, характеризующим зависимость между суммой совокупного оборота с поправкой на сезонность и степенью использования производственных мощностей.

Очевидно, что транспонированная симметричная матрица равна самой матрице.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоит одно и го же число и все элементы одного ряда выше диагонали равны единице, а все другие элементы равны нулю, называется клеткой Жордана:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица, у которой на главной диагонали стоят любые клетки Жордана, а все элементы вне этих клеток равны нулю, называется Жордаповой матрицей. Например, матрица является Жордановой.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Она содержит четыре клетки Жордана: две клетки второго порядка с числом 3 на диагонали, одну клетку третьего порядка с числом нуль на диагонали и одну клетку первого порядка с числом нуль на диагонали.

Из приведенных примеров следует, что понятие матрицы широко используется в экономике. Кроме того, можно подчеркнуть, что планирование производства должно основываться на надлежащим образом упорядоченной системе информации, записанной в виде матрицы, с помощью которой просто и сжато описываются зависимости, имеющие место в материальном производстве. Так, например, планирование на предприятии основывают, пользуясь нормами как системой информации. Если на предприятии производится четыре продукта Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи для их производства используются материалы Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то система норм материальных затрат, которая представляет собой основу плана снабжения, может быть представлена в виде таблицы (матрицы):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияесть норма расхода Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияi-го материала на производство единицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияj-го продукта. Так норма расхода материала Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияна производство единицы продукта Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясоответственно равна Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи т.д.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Можно привести следующий пример использования матриц: два предприятия передают свою продукцию на три оптовых склада, причём расходы на перевозку единицы продукции с предприятия 1 на отдельные склады соответственно равняются 2,3,4; а с предприятия 2 они составляют 1,5,2. Тогда матрица

есть матрица удельных транспортных расходов.

Следует отметить использование матриц в межотраслевом балансе производства (матрица технологических коэффициентов производства), в определении совокупных затрат труда (матрица коэффициентов материальных затрат) и т.д.

Пример №20

Продавец мороженого решает вопрос о том, сколько пакетов мороженого ему следует закупить. К покупке пакетов мороженого он может прибегнуть один раз. Каждый пакет стоит 10 ден.ед. и может быть продан за 12 ден.ед. Пакеты мороженого, оставшиеся не распроданными, никакой стоимости не представляют. Известно, что количество пакетов мороженого, которое он сможет продать, колеблется от 1 до 5. Составим матрицу денежных сумм, выручаемых в зависимости от его решения и от результатов продажи. По строкам расположим результаты того или иного решения продавца мороженого, а по столбцам — возможный исход продаж.

Решение:

Предположим, что продавец мороженого закупает один пакет. Тогда он его продаст и получает прибыль в 2 ден.ед.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Следовательно, первая строка матрицы будет иметь вид: 2 2 2 2 2. Сели он закупит 2 пакета, то продав один, он потеряет 8 ден.ед.; продав 2 пакета, он получит прибыль 4 ден.ед. Следовательно, вторая строка примет вид: -8 4 4 4 4. Рассуждая аналогичным образом, получаем матрицу:

Арифметические операции над матрицами

Матрицы А и В считаются равными, если они одинаковой размерности и всс элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматрицы А совпадают с соответствующими элементами Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияматрицы В, т.е. выполняются Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияскалярные равенства Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, которые равносильны равенству А=В.

Определение 3.2.1. Суммой матриц А а В размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица S=A+B той же размерности, элементы которой Sik равны суммам соответствующих элементов матриц А и В: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из определения следует, что складывают матрицы с одинаковыми размерами, при этом сумма будет матрицей с теми же размерами.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение 3.2.2. Произведением матрицы А на скаляр Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятой же размерности, что и А, элементы которой получены из элементов матрицы А умножением на Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица (-1)A записывается -А и называется матрицей, противоположной матрице А. Если все элементы матрицы равны нулю, го она называется нуль-матрицей и обозначается 0.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Введенные операции сложения матриц и умножения матрицы на скаляр обладают свойствами:

  1. А + В = В + А — (перемсстительный) коммутативный закон.
  2. (А + В) + С = А + (B + C);
  3. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.
  4. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.
  5. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.
  6. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Определение 3.2.3. Разностью матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, её элементы равны разностям соответствующих элементов матриц А и В: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Как и при операции сложения, можно вычитать друг из друга только те матрицы, которые имеют одинаковую размерность.

Прежде чем вводить произведение матриц, рассмотрим произведение векторов. И для пояснения общего метода воспользуемся числовыми примерами.

Предположим, что объем различных продаж за месяц некоторого товара некоторой компании «а» составил 58, 26, 12, 25 единиц за первую, вторую, третью и четвертую недели соответственно, и что цена этого товара по неделям соответственно равна 3, 5, 10, 4 ден.ед. Следовательно, общий доход за месяц от продажи товара равен 58-3 + 26-5+ 12-10 + 25-4 = 524ден.ед. Представим данные

о продажах при помощи матрицы-строки:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

а соответствующие цены с помощью матрицы-столбца:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда общий доход от продажи товара, равный 524 ден.ед., представляет собой сумму произведений элементов матрицы-строки A (количество проданного товара по неделям) на соответствующие элементы матрицы-столбца В (цены по неделям на товар):

Приведенный пример помогает уяснить общую методику вычисления произведения матрицы-строки на матрицу-столбец: для этого каждый элемент матрицы-строки А нужно умножить на соответствующий элемент матрицы-столбца В и сложить полученные произведения.

Предположим теперь, что компания «а» имеет отделения в трёх различных регионах. Данные о количестве проданного товара по регионам запишем в виде матрицы С:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Цена по неделям за месяц была такой же. Доход от розничной продажи в первом регионе был вычислен; аналогичные расчёты могут быть произведены и по двум другим регионам:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Представим итоговые данные по выручке в виде матрицы-столбца:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Взглянув на вычисления, можно убедиться в том, что элементы этой матрицы-столбца получаются так же, как и описанное ранее произведение матрицы-строки А на матрицу-столбец В, причем в качестве матрицы-строки А в каждом случае взята последующая строка матрицы С. Полученный результат представляет произведение СВ:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В общем случае произведение матрицы С на матрицу-столбец В, это вектор-столбец,i-Й элемент которого представляет сумму произведений каждого из элементов i-й строки матрицы С на соответствующие элементы вектора-столбца В.

Из этого примера следует, что произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясуществует только в том случае, когда число элементов в строках матрицы С (т.е. число столбцов) равно числу элементов, составляющих вектор-столбец В (т.е. числу строк). При соблюдении этого равенства, произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияобразует вектор-столбец, содержащий столько элементов, сколько строк насчитывается в матрице С. Следовательно, если в матрице С содержится т строк и q столбцов и порядок матрицы-столбца В равен q, тогда произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияпредставляет собой матрицу-столбец порядка т, причем i-й элемент этого вектора равен

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Аналогичным образом определяется произведение матрицы-строки на матрицу Р. Оно существует в том случае,

если число элементов матрицы-строки D равно числу элементов в столбцах матрицы Р (т.е. равно числу строк этой матрицы). В этом случае произведении Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияобразует матрицу-строку, содержащую столько же элементов, сколько столбцов насчитывается в матрице Р. При этом произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияравно Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияможет к не существовать, несмотря на то что, существует произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, и наоборот.

Пример №21

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

характеризует переход подписчика от одной газеты к другой в зависимости от продолжительности подписки. В этой матрице перехода данные сгруппированы по строкам и столбцам в соответствии с продолжительностью подписки: до одного года, от одного года до двух лет, более двух лет и, наконец, аннулирование подписки. Элементы первой строки характеризуют состояние подписчиков газет с продолжительностью подписки до одного года; второй строки — с продолжительностью подписки от одного года до двух лет; третья строка — с продолжительностью подписки более двух лет; элементы четвертой строки характеризуют аннулирование подписки. Элементы первого столбца характеризуют возможность остаться в категории подписчиков до одного года; элементы второго столбца — возможность продолжить подписку от одного до двух лет, если подписчик имеет продолжительность подписки до одного года; элементы третьего столбца- возможность продолжить подписку более двух лет: элементы четвертого столбца — возможность аннулировать подписку.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Предположим, что известно распределение 5000 подписчиков по продолжительности подписки на газеты: 3000 имеют продолжительность подписки до одного года (категория 1), 800 — имеют продолжительность подписки от одного до двух лет (категория 2), 1200 подписчиков имеют, продолжительность подписки более двух лет (категория 3). Представим эти данные в виде матрицы-строки Q =.

Для того чтобы определить возможное количество подписчиков в каждой из этих категорий через год, умножим матрицу-строку Q на матрицу Р:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица-строка, полученная в результате умножения, показывает, что из I категории через год возможно 2100 подписчиков будут принадлежать к категории II, 1720- к категории III, и 1180 возможно аннулируют подписку.

Учитывая введенные операции, умножение двух матриц А и В можно представить как многократное умножение матрицы А на матрицы-столбцы, рассматривая вторую матрицу В как набор мат-риц-столбцов. При этом произведение матриц А и В может иметь смысл только в том случае, когда j-й столбец матрицы В (а, следовательно, и все ее столбцы) насчитывают тоже число элементов, что и i-я строка матрицы А (а, следовательно, и все ее строки). Поскольку количество элементов в столбце матрицы равно числу строк в ней (а количество элементов в строке равно количеству столбцов) это означает, что в матрице В должно быть столько же строк, сколько столбцов содержит матрица А.

Таким образом, произведение матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияопределено, когда число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясодержит то же количество строк, что и матрица А, и то же количество столбцов, что и матрица В.

Если число столбцов в А равно числу строк в В, то матрицы называются согласованными для умножения А на В. При этом если А размерности т * п, а В размерность Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияявляется матрицей размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т. е.:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение 3.2.4. Произведением матрицы А размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияна матрицу В размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица Р размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, элементы которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияопределяется формулами:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

, при Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В.

Пример №22

Пусть Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица А содержит три столбца, а В содержит три строки. Следовательно, матрицы А и В согласованные для умножения. Тогда Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно, т.е. А В не всегда равно Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Например, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из приведенного примера следует, что, перемножая матрицы А и В, можно получить два произведения Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияк Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Если размеры матрицы A равны Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то оба произведения существуют только в том случае, когда размеры матрицы В равны Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Тогда произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияобразует квадратную матрицу порядка m, а произведение Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— квадратную матрицу n. Поэтому размеры АВ могут быть равны ВА в том случае, когда m = n, т.е. когда обе матрицы квадратные и имеют один и тот же порядок равный m. При этом указанные произведения матриц могут не иметь ни одного одинакового элемента, полученного в результате суммирования произведений соотвстствующих элементов исходных матриц. Поэтому, если даже существуют оба произведения АВ и ВА и оба они имеют одинаковый порядок, вообще говоря, они не обязательно должны быть равны между собой, что и показывает приведенный выше пример.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из сказанного не следует, что АВ и ВА всегда должны различаться между собой, в отдельных случаях они могут быть равны. Например,

В двух случаях, имеющих особо важное значение, произведение матриц обладает свойством коммутативности:

1) в случае умножения на нулевую матрицу: если Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияпредставляет собой квадратную матрицу п-ого порядка, а Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— аналогичную матрицу, все элементы которой составляют нули, тогда

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Нулевая матрица выполняет роль нуля в матричной алгебре;

2) в случае умножения на единичную матрицу: если Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияпредставляет собой квадратную матрицу n-ого порядка, а Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— аналогичную единичную матрицу, то

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Единичная матрица того же порядка служит единицей в матричной алгебре. Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Отметим, что произведение матрицы на скалярную величину так же коммутативно:

Матрицу А можно умножить саму на себя тогда и только тогда, когда она квадратная. Если n — натуральное число, больше единицы, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияесть произведение n матриц равных А. Для действий со степенями матриц справедливы следующие правила: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения Матрица - виды, операции и действия с примерами решения,если АВ = ВА.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

с числовыми коэффициентами Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияот матрицы А или значением многочлена Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияпри х = А называется матрицаМатрица - виды, операции и действия с примерами решения

где Е- единичная матрица.

Многочленной матрицей называется прямоугольная (в частности квадратная) матрица А, элементы которой являются многочленами от одной переменной х с числовыми коэффициентами. Матричным многочленом называется выражение вида

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где х- переменное и Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— квадратные матрицы с числовыми элементами одного и того же порядка n. Число n называется порядком многочлена F(x). Если Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то число m называется степенью матричного многочлена F не вырождена, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то матричный многочлен F(x) называется регулярным.

Два матричных многочлена одинакового порядка можно складывать, вычитать и умножать аналогично обычным многочленам с числовыми коэффициентами, с той разницей, что умножение числовых матриц, а потому и матричных многочленов не обязательно коммутативно.

Операцию умножения для матриц можно ввести иначе. Пусть задана матрица размерности Матрица - виды, операции и действия с примерами решения: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Обозначим столбцы матрицы А следующим образом:

их называют векторами-столбцами; а строки:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

которые называют векторами-строками.

Пример №23

Пусть число трёх типов игрушек, которые нужно изготовить, равно соответственно 20, 30, 40. Определим число деталей каждого вида, необходимых для сборки игрушек при полном удовлетворении заказа на них.

Решение:

Составим матрицу А, в которой по строкам укажем число деталей одного вида, необходимых для производства трёх типов игрушек, а по столбцам — число деталей трех видов, необходимых для производства одной игрушки трёх типов:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Число деталей каждого вида, необходимых для сборки игрушек при полном удовлетворении заказа определим умножением матрицы А на матрицу-столбец, характеризующую число игрушек:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Зная количество деталей, необходимых для производства одной игрушки, можно определить потребность в сырье для производства одной игрушки, если известны нормы расхода сырья для производства одной детали, которые приведены в таблице 3.2.2.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Эти потребности в сырье определяются умножением матриц

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Умножив результат произведения матриц на количество игрушек, определим потребности в сырье для выполнения заказа

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Приведенный пример иллюстрирует простоту решения задачи при помощи умножения матриц.

Пример №24

Предположим, что затраты рабочего времени в часах на каждом рабочем месте и на каждое изделие заданы в таблице 3.2.3. Количество изделий (в штуках) в каждом заказе задано в таблице 3.2.4. Часовая заработная плата (в рублях) на каждом рабочем месте задана в таблице 3.2.5

Решение:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Рассчитаем заработную плату, приходящуюся при производстве различных изделий на каждый заказ.

Решение. Введем в рассмотрение следующие матрицы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где А — матрица затрат, В — матрица спроса, С — матрица почасовой зарплаты.

Так как матрица С задает зависимость между величиной заработной платы и затратами рабочего времени на каждом рабочем месте, а матрица А — между затратами времени на каждом рабочем месте и выпуском изделий, то произведение АС задает линейную зависимость между выпуском одного изделия и величиной заработной платы. Поскольку матрица В определяет количество изделий в каждом заказе, то произведение В(АС) определяет выполнение каждого заказа. Поэтому, вычислив произведение В (АС):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решениянаходим заработную плату, приходящуюся на заказ Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияравную 23920 руб., на заказ Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— 23640 руб. и на заказ Матрица - виды, операции и действия с примерами решения— 24850 руб.

Блочные матрицы и действия над ними

Для упрощения действий над матрицами больших размеров выполняют переход к матрицам меньших размеров путём разбиения их на клетки горизонтальными и вертикальными прямыми, пересекающими всю матрицу.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например, проведём в матрице А две горизонтальные и две вертикальные прямые:

Получим 9 клеток, каждая из которых будет некоторой матрицей. Введём для них обозначения:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда матрицу А можно записать в виде:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Полученную матрицу называют блочной, или клеточной. Любую матрицу множеством способов можно представить в блочной форме. Особый интерес представляют блочные матрицы, имеющие квадратные диагональные клетки. Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В матрице В клетки — квадратные матрицы третьего, второго и первого порядка соответственно.

Если у блочных матриц число диагональных клеток одинаково, причём соответственные диагональные клетки имеют один и тот же порядок, то такие матрицы называются конформными.

Блочная матрица, у которой все клетки, кроме стоящих на главной диагонали, являются нуль-матрицами, называется квазидиагональной. Примером квазидиагональной матрицы является матрица

вида: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияКвазидиагональная матрица обозначается Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

— её диагональные квадратные клетки.

Если к квадратной матрице а добавить снизу матрицу-строку, справа — матрицу-столбец и в правом нижнем углу добавить элемент, то полученная блочная матрица называется окаймлённой.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Арифметические операции над блочными матрицами выражаются через операции над клетками матриц. Такое выражение возможно для конформных матриц.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

1) Сложение блочных матриц производится аналогично правилу сложения обычных матриц: Подчеркнем, что можно складывать только конформные матрицы. В противном случае равенство не имеет смысла.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

2) При умножении блочной матрицы на скаляр все клетки блочной матрицы умножаются на этот скаляр:

3) Произведение конформных блочных матриц формально совпадает с правилом умножения обычных матриц:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

При умножении матриц соответственные диагональные клетки умножаемых матриц должны иметь одинаковый порядок. В противном случае блочные матрицы не будут конформными и их умножать нельзя.

Произведением конформных квазидиагональных матриц является квазидиагональная матрица с той же структурой, причём каждая диагональная клетка произведения является произведением соответствующих диагональных клеток сомножителей:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

При транспонировании квазидиагональной матрицы получаем квазидиагональную матрицу, диагональные клетки которой являются транспонированными матрицами:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица А, которую одновременной перестановкой строк и столбцов можно привести к блочному виду

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

где — квадратные блоки, включающие ненулевые элементы; О — блок, состоящий только из нулей; В — блок, элементы которого могут принимать любые значения, называется разложимой матрицей.

Матрица неразложима если для неё не существует таких одновременных перестановок строк и столбцов, которые приводили бы сё к разложимой форме.

Оператор суммирования и его свойства

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В экономических исследованиях часто употребляются переменные, определенные на дискретных множествах

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

или и рассматриваются их суммы. Символом операции

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

суммирования служит заглавная греческая буква (сигма). Тогда,

например, сумму Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияможно записать в видех Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Числа сточщие под знаком Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи над ним, называются пределами суммирования и указывают наибольшие и наименьшие значения индекса суммирования, между которыми расположены его промежуточные значения.

Для оператора суммирования справедливы следующие тождества:

  • 1. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения
  • 2. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения
  • 3. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения;
  • 5. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Существует также способ записи операции умножения с помощью прописной греческой буквы «пи» — П : Так, например, произ-ведение пяти множителей можно сокращенно записать:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Перестановки

Рассмотрим n целых чисел (элементов) Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Их можно располагать в различном порядке. Всевозможные расположения этих чисел называются перестановками. Перестановка Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, в которой числа идут в порядке возрастания, называется натуральной. Например, из трех чисел можно составить 6 перестановок: (123), (132), (213), (231), (312), (321). Справедливо следующее утверждение: «Из n чисел можно составить n! перестановок». Символ n! читается юн факториал» и обозначает произведение последовательных натуральных чисел: 0!=1; 1!=1; Матрица - виды, операции и действия с примерами решения; Матрица - виды, операции и действия с примерами решения; . Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Назовем беспорядком (или инверсией) в перестановке тот факт, что большее число стоит перед меньшим. Если перестановка имеет четное число инверсий, то она называется четной, в противном случае — нечетной. Обмен местами двух элементов в перестановке называется транспозицией. Например:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Транспозиция переводит одну перестановку в другую и меняет четность перестановки.

Определение определителя

Рассмотрим квадратную матрицу размерности п и составим из ее элементов таблицу вида

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

или более компактно: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Каждый элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияимеет два индекса, первый из которых указывает, какой строке принадлежит элемент, а второй — какому столбцу.

Этой таблице соотнесем число, называемое определителем, вычисляемое по правилу, сформулированному в следующем определении.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение 3.6.1. Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! членов, каждый из которых представляет собой произведение n элементов , взятых по одному из каждой

строки и каждого столбца; при этом член определителя берется со знаком «+», если вторые индексы его элементов образуют чётную перестановку, и со знаком «—», если эта перестановка нечетная, а первые индексы образуют натуральную перестановку.

Определитель n-то порядка обозначается в виде таблицы (3.6.1), где горизонтали — строки, а вертикали — столбцы.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда в силу определения 3.6.1 определитель n-то порядка запишется в виде:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Суммирование распространяется на все перестановки из n чисел 1,2. n, что условно обозначили символом n!

В частности, определителем второго порядкаМатрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается алгебраическая сумма двух слагаемых Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, каждое из которых равно произведению двух элементов. Согласно определению 3.6.1, первое слагаемое имеет знак «+», а второе — знак «-». Следовательно, для нахождения определителя второго порядка, нужно из произведения элементов, стоящих на главной диагонали вычесть произведение элементов стоящих на побочной диагонали:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Таким образом, каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие некоторое число, называемое определителем матрицы и обозначаемое .

Свойства определителя n-го порядка

Свойствами, сформулированными ниже, обладают определители любого порядка, в частности второго и третьего порядков.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

. Величина определителя при его транспонировании (т. е. при замене его строк соответствующими столбцами) не меняется.

Доказательство. Рассмотрим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Протранспонируем его; получим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т. е. элементы строки и i-го столбца определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясовпадают с элементами из i-й строки и k-го столбца определителя D. Тогда по определению

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В каждом слагаемом формулы (4.1) переставим сомножители таким образом, чтобы их первые индексы составили натуральную перестановку; вторые индексы образуют произвольную перестановку:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Перестановки Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияразные, но обладают одинаковой четностью, так как одним и тем же числом транспозиций перестановка Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияпереводится в натуральную, а перестановку Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияполучаем из натуральной. Поэтому Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, и равенство (3.7.1) принимает вид:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Так как Матрица - виды, операции и действия с примерами решениято Матрица - виды, операции и действия с примерами решениячтo и требовалось доказать.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из свойства вытекает, что строки и столбцы определителя равноправны. Поэтому любое свойство доказанное для строк, справедливо и для столбцов.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то у него изменится только знак, а абсолютная величина останется прежней.

Доказательство. Рассмотрим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, в котором переставим l-ую и m-ую строки. При этом считаем, что Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Получим определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, элементы которого связаны с элементами определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясоотношениями

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В силу равенств (3.7.2) преобразуем определитель

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Выполним в перестановке Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияодну транспозицию Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, в результате четность перестановки изменится на противоположную:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Затем поменяем местами сомножители Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияв произведении Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Произведение при этом не изменится, а равенство (3.7.3) примет вид

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В равенстве (3.7.4) первые индексы элементов образуют натуральную перестановку Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т. к. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, а перестановка из

вторых индексов такая же, как и в выражении Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Поэтому сумма правой части формулы (3.7.4) равна определителю Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, т. е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. что и требовалось доказать.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Так как по условию две строки одинаковы, то их перестановка не меняет величины Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияопределителя. С другой стороны, по свойству Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияв результате перестановки знак определителя изменится, т. с. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Следовательно, Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

. Если все элементы строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Доказательство. Пусть в определителе l-тая строка содержит общий множитель, тогда по определению его можно записать в виде:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из (3.7.5) следует, что каждое слагаемое содержит множителем число , его можно вынести за знак суммы, т. с. преобразовать

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Из свойства вытекает:

Следствие 3.7.1. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Действительно, по свойству Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияобщий множитель у одной из строк, пропорциональной другой, можно вынести за знак определителя. Получим определитель с двумя одинаковыми строками, а в силу свойства Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияон равен нулю.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

. Если все элементы строки (столбца) являются суммами из одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, у которых элементами этой строки (столбца) служат отдельные слагаемые.

Доказательство. Пусть все элементы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияi-той строки определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияявляются суммами из одинакового числа слагаемых: Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Тогда определитель имеет вид:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

В силу определения его можно записать:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

но так как

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

что и требовалось доказать.

Следствие 3.7.2. Величина определителя не изменится, если /с элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умножив их предварительно на один и тот же множитель.

Действительно, если мы рассмотрим определитель

Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияполученный из Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияприбавляем к элементам l строки соответствующие элементы m строки, то в силу свойства Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияего можно представить в виде суммы двух определителей, т. е.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

так как второе слагаемое равно 0 как определитель с двумя пропорциональными строками.

Миноры и алгебраические дополнения

Определение 3.8.1. Если в определителе n-го порядка вычеркнем i-ую строку и k-ый столбец, на пересечении которых находится элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, то полученный определитель (n-1)-го порядка называется минором исходного определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, соответствующего элементу Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, и обозначается Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. Например, если

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определение 3.8.1. Минор Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияс определенным знаком, зависящим от четности суммы i+k номеров строки и столбца, на пересечении которых находится элемент Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается алгебраическим дополнением элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияв определителе Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи обозначается

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

.

С помощью алгебраических дополнений определитель порядка п может быть выражен через определители порядка n-1. Этот факт справедлив для определителей имеющих специальную структуру, т. е. имеют место

Лемма 3.8.1. Если в определителе порядка n все элементы последней строки (столбца), кроме элемента, стоящего в правом нижнем углу, равны нулю, то определитель равен произведению этого элемента на соответствующий ему минор.

Лемма 3.8.2. Если в определителе порядка n все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение.

Из сформулированных лемм вытекают следующие теоремы:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Теорема 3.8.1. (теорема разложения). Определитель порядка п равен сумме парных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: .

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Доказательство. Так как строки и столбцы равносильны, то достаточно проверить справедливость равенства:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Представим каждый элемент i-й строки определителя в виде суммы n слагаемых, из которых n-1 слагаемое равно нулю

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

тогда его можно представить в виде суммы определителей (по свойству ):

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияпо лемме 2 равен произведению элемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияна его алгебраическое дополнение в этом определителе. Но так как определитель Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияотличается от Матрица - виды, операции и действия с примерами решениялишь элементами i-й строки, го это алгебраическое дополнение совпадает с алгебраическим дополнением Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияэлемента Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, так как эта строка и столбец будут вычеркнуты, а все остальные элементы определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, и Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясовпадают.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Следовательно,.

Аналогично Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи поэтому (т. к. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Теорема 3.8.2. (теорема аннулирования). Сумма парных произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения параллельной строки (столбца) равна нулю:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения, где i, j — строки определителя Матрица - виды, операции и действия с примерами решения.

Вычисление определителей

Укажем некоторые способы вычисления определителей.

1) По теореме 3.8.1 определитель любого порядка п выражается через n определителей (n-1)-го порядка. Применяя эту теорему несколько раз, можно преобразовать исходный определитель к некоторому числу определителей третьего порядка, вычисление которых не представляет труда. Однако для упрощения вычислений целесообразно предварительно преобразовать определитель так, чтобы в одном из его рядов все элементы, кроме одного, обратились в нуль. Тогда данный определитель сведется к определителю более низкого порядка, и т. д.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

2) Пользуясь свойствами определителя, приводят его к треугольному виду, когда все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Полученный определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали, т. е.

Если удобнее получить нули по одну сторону от побочной диагонали, то Матрица - виды, операции и действия с примерами решениягде Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияприведен уже к треугольному виду.

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

3) Если определитель порядка n после разложения по строке или столбцу и после преобразования, выражается через определители того же вида, но более низких порядков, то полученное равенство называется рекуррентным. Вычисляют столько определителей данного вида начальных порядков, сколько их входит в правую часть рекуррентного соотношения. Далее вычисляют определители высших порядков, используя рекуррентные соотношения, до тех пор, пока не удастся заметить общую закономерность для получаемых выражений. Для общего случая доказывают индукцией по п эту закономерность.

Определитель квазидиагональной матрицы равен произведению определителей её диагональных клеток:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

.

Определитель второго порядка, согласно определению 3.6.1 равен произведению диагональных элементов минус произведение элементов побочной диагонали. Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

.

Определитель третьего порядка по определению 3.6.1. равен алгебраической сумме шести слагаемых. Построение этой суммы можно выполнить по правилу Саррюса. Со знаком «+» и рассматривая произведение элементов определителя, обозначенных на схеме точками

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Определители выше третьего порядков вычисляются либо сведением к треугольному виду, либо используя теорему разложения или используя рекуррентную формулу. Например,

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

(последовательно умножим первую строку на 2; 4; 3 и вычтем получающиеся при этом строки из второй, третьей и четвертой строк)

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

(умножим третью строку на 20/34 и вычтем из четвертой строки; сомножитель четвертой строки 1/34 вынесем за знак определителя; в результате получим определитель верхнетреуголыюго вида, который равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали) .

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрицы и операции над матрицами

Матрицей размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается прямоугольная таблица чисел Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решениявида Матрица - виды, операции и действия с примерами решениясостоящая из m строк и n столбцов. Числа Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназываются элементами матрицы, где i — индекс строки, j — индекс столбца. Обозначение: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияМатрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например, элемент (читается «а три пять») в таблице будет расположен в третьей строке и пятом столбце.

Суммой двух матриц одинакового размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияназывается матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решениятого же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияи Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например,

Произведением матрицы Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияна действительное число Матрица - виды, операции и действия с примерами решения. называется такая матрица Матрица - виды, операции и действия с примерами решениячто Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Если количество столбцов первой матрицы (множимой) равно количеству строк второй матрица (множителя), то матрицы называются согласованными.

Внимание! Умножаются только согласованные матрицы.

Произведением матрицы А размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(n столбцов) на матрицу В размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(n строк) называется матрица С размера Матрица - виды, операции и действия с примерами решениякаждый элемент которой Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияравен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-ro столбца матрицы В, т.е. Матрица - виды, операции и действия с примерами решения(«i-ю строку первой матрицы умножаем на j-й столбец второй матрицы»). Число строк матрицы произведения С равно числу строк матрицы А, а число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В.

Пример:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Найти то из произведений АВ, В А, которое существует.

Решение:

Найдем произведение матриц АВ. Оно существует, т.к. количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В и равно двум.

Например, элемент произведения матриц с индексом 12 равен по определению сумме произведений элементов 1-й строки матрицы А на соответствующие элементы 2-го столбца матрицы В:

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Тогда

Рассмотрим произведение матриц ВА. Число столбцов матрицы В (n=3) не совпадает с числом строк матрицы А (m=2). Произведение матриц ВА не существует.

Вывод. В общем случае произведение матриц не коммутативно, т.е. не всегда АВ=ВА.

Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной. Обозначение: Матрица - виды, операции и действия с примерами решенияили Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Матрица - виды, операции и действия с примерами решения

Например,

  • Линейный оператор — свойства и определение
  • Многочлен — виды, определение с примерами
  • Квадратичные формы — определение и понятие
  • Системы линейных уравнений с примерами
  • Прямая — понятие, виды и её свойства
  • Плоскость — определение, виды и правила
  • Кривые второго порядка
  • Евклидово пространство

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *